广东省惠州市2022届高三下学期数学第二次模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ （其中i为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合 $A = {x | x < 3}$ ， $B = {x | (x - 5) (x - 2) \leq 0}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $[3 ， 5)$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 5$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- 15 \sqrt{3}$ B、-30 C、-15 D、15

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4. 已知 $m ， n ， c$ 为三条不同的直线， $α ， β ， γ$ 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α ， n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α ， n \subset β$ 且 $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、 $α / / β$ ， $m / / β$ ，则 $m / / α$ D、若 $α \cap β = m ， β \cap γ = n ， γ \cap α = c$ 且 $m / / n$ ，则 $m / / c$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 5}{x - 2} (x \geq \frac{5}{2})$ 有（）

A、最大值 $\frac{5}{2}$ B、最小值 $\frac{5}{2}$ C、最大值2 D、最小值2

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6. 函数 $f (x) = l n (x + 3)$ 的图像与函数 $g (x) = | x^{2} - 2 |$ 的图像的交点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、0

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7. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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8. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 的右支交于 $P$ 、 $Q$ 两点，若 $O P ⊥ F_{1} Q$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、多选题

9. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{10} = S_{20}$ ，则（）

A、公差 $d < 0$ B、 $a_{16} < 0$ C、 $S_{n} \leq S_{15}$ D、当且仅当 $S_{n} < 0$ 时 $n \geq 32$

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10. 某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码x	1	2	3	4	5
年借阅量y/万册	4.9	5.1	5.5	5.7	5.8

根据上表，可得y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则（）

A、

\hat{a} = 4.68

B、估计近5年借阅量以0.24万册/年的速度增长 C、y与x的样本相关系数

r > 0

D、2021年的借阅量一定不少于6.12万册

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{12} + x) = f (\frac{π}{12} - x)$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递增 D、 $f (x - \frac{π}{6})$ 为奇函数

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12. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上下底面边长分别为4，6，高为 $\sqrt{2}$ ， $E$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{52 \sqrt{2}}{3}$ B、平面 $B C_{1} D ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ C、 $A E ∥$ 平面 $B C_{1} D$ D、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积为 $104 π$

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三、填空题

13. 若 $t a n θ = - 1$ ， $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $s i n θ - c o s θ =$ .

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14. 在一次教学质量调研测试中，某学校高三有1200名学生，全部学生的数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 100) = 0.5$ ，且 $P (X \geq 120) = 0.2$ ，则本次测试数学成绩在80到120之间的学生约有人.

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15. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是 cm

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16. 若函数 $f (x) = e^{x} + \frac{a}{x}$ 在 $[1 ， 2]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 2$ ， $a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边， $a s i n C = \sqrt{3} c \cdot c o s A$ ，有三个条件：① $c o s B = - \frac{2}{3}$ ；② $b + c = 2 \sqrt{3}$ ；③ $a = \sqrt{6}$ ，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.

(1)、两个条件中能有①吗？说明理由；

(2)、请指出这两个条件，并求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = B B_{1} = 1$ ，直线 $B_{1} C$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $30 °$

(1)、求证：平面 $B_{1} A C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B - C B_{1} - A$ 的余弦值.

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20. 2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“

3 + 1 + 2

”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：

性别科目	男生	女生	合计
物理	300
历史		150
合计	400		800

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	_6.635	_10.828

(1)、根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；

(2)、该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望

E (X)

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2} ，$ 右顶点为 $A ，$ 过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于 $B 、 C$ 两点，所得四边形 $A B F_{1} C$ 为菱形，且其面积为 $\frac{32}{3}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $D 、 E$ 两点，试求三角形 $D E F_{2}$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a l n x$ （ $a > 0$ ）.

(1)、当 $a = 2$ 时，试求函数图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且不等式 $f (x_{1}) \geq m x_{2}$ 恒成立，试求实数 $m$ 的取值范围.

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