广东省广州市2022届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $A = {2 ， 3 ， 6}$ ， $B = {1 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${5 ， 6}$ C、 ${2 ， 6}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = | \sqrt{3} - i |$ ，则在复平面内 $z$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设甲：实数 $a < 3$ ；乙：方程 $x^{2} + y^{2} - x + 3 y + a = 0$ 是圆，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $c o s θ + c o s (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $c o s (2 θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $4 a_{1}$ ， $2 a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{n}}{n} (n \in N^{*})$ 的最小值为（）

A、 $\frac{16}{25}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是（）

A、 $\frac{140}{243}$ B、 $\frac{40}{243}$ C、 $\frac{20}{81}$ D、 $\frac{40}{81}$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面 $α$ 去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为 $S$ ，周长为 $l$ ，则

A、 $S$ 为定值， $l$ 不为定值 B、 $S$ 不为定值， $l$ 为定值 C、 $S$ 与 $l$ 均为定值 D、 $S$ 与 $l$ 均不为定值

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8. 对于任意 $x > 0$ 都有 $x^{x} - a x l n x \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， e]$ B、 $[- e^{1 - \frac{1}{e}} ， e]$ C、 $(- \infty ， - e^{1 - \frac{1}{e}}] ∪ [e ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， e]$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{5}$ C、 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{4}$ D、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ．下面四个结论正确的是（）

A、 $a = 2$ ， $A = 30 °$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径是4 B、若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\sin B}$ ，则 $A = 45 °$ C、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 D、若 $A < B$ ，则 $\cos A < \cos B$

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11. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的左､右焦点分别为F₁（−c，0），F₂（c，0）.直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x + c)$ 与双曲线左､右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|=4，则下列说法正确的有（）

A、双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\vec{F_{2} F_{1}} \cdot \vec{F_{2} M} = \vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} M}$ C、 $\vec{F_{2} F_{1}} \cdot \vec{F_{2} M} = \vec{F_{1} F_{2}} \cdot \vec{F_{1} M}$ D、 $| F_{1} M | = | F_{2} A |$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 2 ， - 2 \leq x \leq 1 \\ \ln x - 1 ， 1 < x \leq e \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = m$ 恰有两个不同解 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $（ x_{2} - x_{1}) f (x_{2})$ 的取值可能是（）

A、-3 B、-1 C、0 D、2

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}}$ 是偶函数，则 $f (1) =$ ．

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14. 若 $x^{8} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} {(x + 1)}^{8}$ ，则 $a_{3} =$ ．

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15. 已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一个动点，则点 $P$ 到点 $(0 ， \sqrt{3})$ 的距离与 $P$ 到 $y$ 轴的距离之和的最小值为．

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16. 讲一个半径为5 $c m$ 的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA､PB､PC组成，它们两两成60°角.则水晶球的球心到支架P的距离是 $c m$ .

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $a^{2} = {(b - c)}^{2} + (2 - \sqrt{3}) b c$ ， $s i n A s i n B = \frac{1 + c o s C}{2}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ．

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18. 已知递增等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{5} = 10$ ， $a_{2} \cdot a_{4} = 21$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 l o g_{2} b_{n} = a_{n} - 1 ， n \in N *$ .

(1)、求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $T_{n} = n b_{1} + (n - 1) b_{2} + ⋯ + b_{n}$ ，求数列 ${T_{n}}$ 的通项公式.

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19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位： $μ m$ ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ .
参考数据： $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， $0.997 4^{10} \approx 0.9743$ ， $0.997 4^{4} \approx 0.99$ ， $0.954 4^{3} \approx 0.87$ ， $0.026 \times 0.997 4^{9} \approx 0.0254$ ， $0.045 6^{2} \approx 0.002$ ， $\sqrt{35.2} \approx 5.9330$ .

(1)、假设生产状态正常，记 $X$ 表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在 $(μ - 3 σ ， μ + 3 σ)$ 之外的零件数，求 $P (X \geq 2)$ 及 $X$ 的数学期望；

(2)、某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：
①计算这一天平均值 $μ$ 与标准差 $σ$ ；
②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位： $μ m$ ）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？

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20. 如图甲是由正方形 $A B C D$ ，等边 $△ A B E$ 和等边 $△ B C F$ 组成的一个平面图形，其中 $A B = 6$ ，将其沿 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 折起得三棱锥 $P - A B C$ ，如图乙.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、过棱 $A C$ 作平面 $A C M$ 交棱 $P B$ 于点 $M$ ，且三棱锥 $P - A C M$ 和 $B - A C M$ 的体积比为 $1 ： 2$ ，求直线 $A M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P $(1, \frac{3}{2})$ 在椭圆C上，O为坐标原点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A ， B ，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x + 1} + a x + a (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x - 1) + \ln (x + 1) \geq 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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