广东省佛山市五校联盟2022届高三下学期数学高考模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，且满足 $(1 + i) \cdot \bar{z} - 2 = 0$ ，则 $z$ 对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x \in Z | \frac{x - 2}{x + 1} \leq 0}$ ， $B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 ${0}$ C、 $[- 1 ， 2]$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 7$ ， $S_{5} = 7 a_{2}$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、11 B、13 C、14 D、16

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4. 已知 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = l o g_{2} (l o g_{3} 2)$ ， $c = 2^{l o g_{3} 2}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 ， \vec{b} = (1 ， 2 \sqrt{2})$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} - \vec{b})$ ．则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 如图，函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， 0 < | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $P (\frac{π}{3} ， 0)$ 和点 $Q (0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{2}{3} π ， 0)$ 成中心对称 C、 $f (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增

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7. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积．球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得较短的一段叫做球冠的高．设球面半径为R，球冠的高为h，则球冠的表面积为 $S = 2 π R h$ ．已知一颗地球静止同步通信卫星距地球表面的最近距离与地球半径之比为5，则它的信号覆盖面积与地球表面积之比为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{12}$

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8. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过焦点且斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若 $| A F | = λ | B F |$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、多选题

9. 新中国成立以来，我国共进行了 $7$ 次人口普查，这 $7$ 次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项中正确的是（）

A、乡村人口数均高于城镇人口数 B、城镇人口比重的极差是 $50.63 %$ C、城镇人口数达到最高峰是第 $7$ 次 D、和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第 $6$ 次

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10. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为a，点P为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上一点（含边界），点Q为该正方体外接球球面上一点．则下面选项正确的是（）

A、直线AP与平面ABCD所成最大角为 $\frac{π}{4}$ B、点Q到正方体各顶点距离的平方之和为 $12 a^{2}$ C、点Q到点A和点 $C_{1}$ 的距离之和最大值为 $(1 + \sqrt{2}) a$ D、直线AP与直线BD所成角范围为 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$

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12. 已知函数 $f (x) = a^{x} - x^{a} (a > 1)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，且 $f (x)$ 仅有一个零点，则（）

A、e是 $f (x)$ 的零点 B、 $f (x)$ 在 $(1 ， e)$ 上单调递增 C、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、 $f (e)$ 是 $f (x)$ 的最小值

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三、填空题

13. 在 ${(x - 2 y)}^{5}$ 中， $x^{2} y^{3}$ 的系数为．

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14. “五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有种．

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15. 已知点 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 2$ ，则点P到直线l： $3 x - y + 4 = 0$ 的距离的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{4} l n (2 x - 1) ， x > \frac{1}{2} \\ x^{2} + 2 x + a ， x \leq \frac{1}{2} \end{array}$ ，函数在 $x = 1$ 处的切线方程为．若该切线与 $f (x)$ 的图象有三个公共点，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 11$ ， $a_{2} = - 9$ ，且 $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 2 (n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $b = a + 2$ ， $c = a + 3$ ．

(1)、若 $5 s i n A s i n C = 4 - 4 c o s 2 A$ ，求 $c o s A$ 的值；

(2)、是否存在正整数 $a$ ，使得 $△ A B C$ 为钝角三角形？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

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19. 甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望 $E (X)$ ；

(2)、若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值．

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是菱形， $∠ B C C_{1} = 60 °$ ， $A C = A B$ ．

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A B = B B_{1} = 2$ ， $A B_{1} = \sqrt{10}$ ，求二面角 $A_{1} - B C_{1} - B_{1}$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1 ， 0)$ ，上、下顶点分别为 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ ，以点 $F$ 为圆心， $F B_{1}$ 为半径作圆，与 $x$ 轴交于点 $T (3 ， 0)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P (2 ， 0)$ ，点 $A$ 、 $B$ 为椭圆 $C$ 上异于点 $P$ 且关于原点对称的两点，直线 $P A$ 、 $P B$ 与 $y$ 轴分别交于点 $M$ 、 $N$ ，记以 $M N$ 为直径的圆为⊙ $K$ ，试判断是否存在直线 $l$ 截⊙ $K$ 的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．

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22. 设函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + (a - 1) x + a l n x + \frac{a}{2}$ ， $a > 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和最值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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