湖南省长沙市周南教育集团2021-2022学年九年级下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2022-06-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 9的算术平方根是（）

A、 $\pm 3$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $9$

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2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $(a - b) (- a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 $2 a^{3} + 3 a^{3} = 5 a^{6}$ C、 $6 x^{3} y^{2} \div 3 x = 2 x^{2} y^{2}$ D、 ${(- 2 x^{2})}^{3} = - 6 x^{6}$

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4. 不等式组 ${\begin{cases} 3 x + 2 > 5 \\ 5 - 2 x \geq 1 \end{cases}$ 的解在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列命题正确的是（）

A、矩形对角线互相垂直 B、方程 $x^{2} = 14 x$ 的解为 $x = 14$ C、六边形内角和为540° D、一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

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6. 一把直尺和一块三角板 $A B C$ (含 $30 °$ 、 $60 °$ 角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 $D$ 和点 $E$ ，另一边与三角板的两直角边分别交于点 $F$ 和点 $A$ ，且 $∠ C E D = 50 °$ ，那么 $∠ B F A$ 的大小为（）

A、 $145 °$ B、 $140 °$ C、 $135 °$ D、 $130 °$

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7.
如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝ $\frac{1}{2}$ （弦×矢＋矢²），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{12}{25}$

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9. 为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用 $360$ 万元购买甲型机器人和用 $480$ 万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为 $140$ 万元.若设甲型机器人每台 $x$ 万元，根据题意，所列方程正确的是（）

A、 $\frac{360}{x} = \frac{480}{140 - x}$ B、 $\frac{360}{140 - x} = \frac{480}{x}$ C、 $\frac{360}{x} + \frac{480}{x} = 140$ D、 $\frac{360}{x} - 140 = \frac{480}{x}$

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10. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：
①b=﹣2；
②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；
④若a=1，则OA•OB=OC² ．
以上说法正确的有（　　）

A、①②③④ B、②③④ C、①②④ D、①②③

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二、填空题

11. 分解因式： $2 m^{2} - 18 =$ .

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12. 若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为.

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13. 已知圆锥的底面积为16 $π$ cm² ，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是cm² ．

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14. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x - k = 0$ 有两个不相等的实数根，那么 $k$ 的取值范围是．

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15. 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是： ${s_{甲}}^{2} = 0.12$ ， ${s_{乙}}^{2} = 0.6$ ，则射击成绩较稳定的是.（填“甲”或“乙”）

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16. 如图，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=2：3，则AF：AC=.

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三、解答题

17. 计算： $4 s i n 60 ° - | \sqrt{12} - 1 | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(- 2022)}^{0}$ .

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18. 先化简，再求值：
$(1 + \frac{1}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ ．

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19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点.

(1)、将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁；
作△A₁B₁C₁关于点O成中心对称的△A₂B₂C₂；

(2)、B₁B₂的长为；四边形C₂B₂C₁B₁的面积为.

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20. 为庆祝中国共产党建党100周年，周南集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖.为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、本次被抽取的部分学生人数是人；

(2)、扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ▲ ，并把条形统计图补充完整；

(3)、九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率.

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21. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F ．

(1)、求证：四边形ADCF是菱形；

(2)、若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．

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22. 学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.

(1)、求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；

(2)、学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

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23. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点BD交AC于点E.

(1)、若 $∠ A C B = 30 °$ ，求 $s i n ∠ D A C$ .

(2)、求证：AD²＝DE•DB.

(3)、若BC＝5，CD＝ $\sqrt{5}$ ，求DE的长.

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24. 新定义：如果函数G的图象与直线l相交于点A（x₁ ， y₁）和点B（x₂ ， y₂），那么我们把|x₁−x₂|叫做函数G在直线l上的“截距”.

(1)、求双曲线G： $y = \frac{4}{x}$ 与直线l： $y = - 2 x + 6$ 上的“截距”；

(2)、若抛物线 $y = 2 x^{2} + (2 - b) x$ 与直线 $y = - x + b$ 相交于点A（x₁ ， y₁）和点B（x₂ ， y₂），若“截距”为 $\sqrt{6}$ ，且x₁＜x₂＜0，求b的值；

(3)、设m，n为正整数，且 $m \neq 2$ ，抛物线 $y = x^{2} + (3 - m t) x - 3 m t$ 在x轴上的“截距”为d₁ ，抛物线 $y = - x^{2} + (2 t - n) x + 2 n t$ 在x轴上的“截距”为d₂.如果 $d_{1} \geq d_{2}$ 对一切实数t恒成立，求m，n的值.

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25. 已知一次函数： $y = - 3 x - 3$ 与x轴交于点A，与y交于点C. 抛物线 $y = a x^{2} - (4 + m) a x + 4 m a$ （a、m为常数）过定点B，连接BC，点D为线段BC上一动点.

(1)、求出点B的坐标；

(2)、过D作DP⊥AC于点P，DQ⊥x于点Q，设Q点横坐标为t，DP长度为d，试求d关于t的函数解析式；

(3)、①当m＝0，a＞0时，该抛物线上存在唯一的点H使∠CAH＝45°，求此时抛物线的解析式；
②过点D作DE⊥BC交线段OB于点E，连接CE并延长交△OBC的外接圆于点F，当点D在BC上移动时，求 $O D \cdot E F$ 的最大值.

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