备考浙教版中考数学题型专项训练方程与不等式解答题专练

试卷更新日期：2022-05-31 类型：三轮冲刺

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一、综合题

1. 为了做好学校疫情防控工作，某校从药店购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知乙种型号的口罩每袋单价比甲种型号的口罩每袋单价少5元，购买2500元的甲种口罩的数量和购买2000元的乙种口罩的数量相同.

(1)、求甲、乙两种口罩每袋的售价；

(2)、根据学校防疫需要，学校拟从该药店购进甲、乙两种型号口罩共800袋，其中乙种型号的数量不超过甲种型号的3倍.问学校应如何购买，才能使得购买口罩所需费用最少？并求出所需的最少费用.

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2. 某社区为了创建干净整洁、和谐文明的社区环境，准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价是B种垃圾桶每组单价的1.5倍，用7200元购买A种垃圾桶的组数比用6000元购买B种垃圾桶少5组．

(1)、求A，B两种垃圾桶每组单价分别是多少元；

(2)、该社区计划用不超过12000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组，则最多可以购买A种垃圾桶多少组？

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3. 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一名二级技工粉刷6个房间，5天正好完成；一名一级技工3天粉刷了4个房间还多刷了另外的 ${10m}^{2}$ 墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷 ${10m}^{2}$ 墙面．

(1)、求每个房间需要粉刷的墙面面积；

(2)、若甲乙两名技工各自需粉刷7个房间的墙面，甲比乙每天少粉刷 ${20m}^{2}$ ，乙比甲少用2天完成任务，求甲、乙两名技工每天各粉刷墙面面积．

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4. 某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：

水果单价

甲

乙

进价（元/千克）

$x$

$x + 4$

售价（元/千克）

20

25

已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．

(1)、求甲、乙两种水果的进价；

(2)、若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

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5. 2022年3月12日是第44个植树节，某街道办现计划采购樟树苗和柳树苗共600棵，已知一棵柳树苗比一棵樟树苗贵4元，用2400元所购买的樟树苗与用3200所购买的柳树苗数量相同．

(1)、请问一棵樟树苗的价格是多少元？

(2)、若购买樟树苗的数量不超过柳树苗的2倍，怎样采购所花费用最少？最少多少元？

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6. 如图1，在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且 $| m - 4 | + \sqrt{n - 2} = 0$ .

(1)、求点 $B$ 、点 $D$ 的坐标.

(2)、起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2.设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米.
①当t=1.5时，S=  ▲  平方厘米；

②在 $2 \leq t \leq 4$ 这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为  ▲  平方厘米；

③在小正方形平移过程中，若S=2，则小正方形平移的时间t为  ▲  秒.

(3)、将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由.

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7. 已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b.

(1)、求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

(2)、说明直线与抛物线有两个交点；

(3)、直线与抛物线的另一个交点记为N.
（Ⅰ）若-1≤a≤ $- \frac{1}{2}$ ，求线段MN长度的取值范围；

（Ⅱ）求△QMN面积的最小值.

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8. 今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨.某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满.

(1)、1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨?

(2)、请你帮该物流公司设计租车方案；

(3)、若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.

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9. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，边 $AB$ 、 $BC$ 的长 $(AB < BC)$ 是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两个根.点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $1$ 个单位的速度沿 $△ ABC$ 边 $A \to B \to C \to A$ 的方向运动，运动时间为 $t ($ 秒 $)$ .

(1)、求 $AB$ 与 $BC$ 的长；

(2)、当点 $P$ 运动到边 $BC$ 上时，试求出使 $AP$ 长为 $\sqrt{10}$ 时运动时间 $t$ 的值；

(3)、当点 $P$ 运动到边 $AC$ 上时，是否存在点 $P$ ，使 $△ CDP$ 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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10. 在一次地震中，某村受地震影响严重，已经成为一片废墟.为重建家园，政府准备修建在地震中受损的一条公路，若由甲工程队单独修需3个月完成，每月耗资12万元；若由乙工程队单独修建需6个月完成，每月耗资5万元.

(1)、请问若由甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？

(2)、若由甲、乙两工程队先合作，剩下的由乙队来完成，且恰好历时4个月完成修建任务，求这样安排共耗资多少万元？（时间按整月计算）

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11. 某产家在甲、乙工厂生产同一商品，并将其分几天运往A地240吨，B地260吨，表1是两个工厂的商品记录，表2为该商品的运费标准（m，n为常数）.

表1

时间	甲工厂商品记录	乙工厂商品记录	甲、乙两工厂总运费
第1天	生产商品200吨	生产商品300吨
第2天	运往A地30吨	运往A地10吨，运往B地20吨	1230元
第3天	运往B地20吨	运往B地40吨	1460元

甲乙两厂往A，B地运输该商品的运费标准（单位：元/吨）

表2

目的地

工厂

A

B

甲

20

25

乙

m

n

(1)、求m，n的值.

(2)、若运费标准不变，要使剩余商品按要求运往A，B两地，且总运费最少，请给出剩余商品的运输方案.

(3)、若从第4天开始，运输公司将甲工厂往B地的运费提高a元/吨，乙工厂往B地的运费降低a元/吨，其中a为正整数，若可用不超过7150元的费用按要求完成剩余商品的运输，求a的最小值.

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12. 学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元.某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根.

规格

A型

B型

C型

单价（元/条）

4

6

9

(1)、求三种型号跳绳的长度.

(2)、若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量.

(3)、若购买的跳绳长度总长度不少于100米，则A型跳绳最多买几条？

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13. 某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元.

(1)、求每吨水的市场调节价是多少元；

(2)、设每月用水量为x（x＞12）吨，应交水费为y元，写出y与x之间的关系式；

(3)、小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？

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14. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为 $(a ， b)$ ，且a，b满足 $a^{2} - 8 a + 16 + \sqrt{b - 2} = 0$ ，若点M沿线段CB从C向B以每秒2cm的速度运动至B，同时动点N沿线段AO从A向O以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为t秒，连接OM、BN；

(1)、如图1，当t为何值时，四边形OMBN是菱形？

(2)、如图2，将矩形OABC沿着AP折叠，点O的对应点 $Q^{'}$ 恰好落在BC边上，连接 $O Q^{'}$ ，求直线 $O Q^{'}$ 的函数解析式；

(3)、如图3，点P是对角线OB上一动点，点Q是OA上一动点，求 $A P + P Q$ 的最小值.

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15. 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组 ${\begin{array}{l} 17 x + 19 y = 21 ① \\ 23 x + 25 y = 27 ② \end{array}$ 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得： $6 x + 6 y = 6$ ，即 $x + y = 1$ .③
$③ \times 17$ 得： $17 x + 17 y = 17$ .④
①-④得： $y = 2$ ，代入③得 $x = - 1$ .
所以这个方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ .

(1)、请你运用小明的方法解方程组 ${\begin{array}{l} 1997 x + 1999 y = 2001 \\ 2017 x + 2019 y = 2021 \end{array}$ .

(2)、规律探究：猜想关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} a x + (a + 2) y = a + 4 \\ b x + (b + 2) y = b + 4 \end{array} (a \neq b)$ 的解是.

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16. 如图，已知抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y= $\frac{1}{2}$ x-4.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR.求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2 $\sqrt{5}$ 个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

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17. 中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案：
方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；

方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；

方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．

(1)、如果按照方案A修，修的花坛的周长是．

(2)、如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？

(3)、如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的 $\frac{3}{2}$ ，乙加入后，甲的效率也提高了 $\frac{1}{4}$ ，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（ $π$ 取3）

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18. 临近2022年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施为防范疫情，某校欲购置规格分别为300mL和500mL的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要61元，购买3瓶甲种和4瓶乙种消毒液需要154元。

(1)、求甲，乙两种消毒液的单价；

(2)、为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将11.2L的消毒液全部装人最大容量分别为300mL和500mL的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20mL，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．

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19. 为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”.假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”.

(1)、求出m的值；

(2)、经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人.请分别求出他们三人号召的成功率.

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20. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

(1)、建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得 $x y = 4$ ，即 $y = \frac{4}{x}$ ；由周长为 $m$ ，得 $2 (x + y) = m$ ，即 $y =$ $- x + \frac{m}{2}$ .满足要求的 $(x ， y)$ 应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.

(2)、画出函数图象
函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象如图所示，而函数 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图象可由直线 $y = - x$ 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线 $y = - x$ .

(3)、平移直线 $y = - x$ ，观察函数图象
①当直线平移到与函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象有唯一交点 $(2 ， 2)$ 时，周长 $m$ 的值为▲ ；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.

(4)、得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为.

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21. 如图， $△ A B C$ 是边长为 $4 cm$ 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 $1 cm / s$ ，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，P，Q两点停止运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t s$ ，解答下列问题：

(1)、求 $△ A B C$ 的面积.

(2)、当 $t$ 为何值时， $△ P B Q$ 是直角三角形？

(3)、是否存在某一时刻 $t$ ，使四边形APQC的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{5}{8}$ ？如果存在，求出 $t$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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22. 已知数轴上两点A，B对应的数分别是 $- 10$ ，4，P、M、N为数轴上的三个动点，点M从B点出发速度为每秒2个单位，点N从A点出发速度为M点的2倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位.

(1)、线段 $A B$ 之间的距离为个单位长度.

(2)、若点M向左运动，同时点N向右运动，求多长时间点M与点N相遇？

(3)、若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？

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23. 如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点.

(1)、求线段MN的长度.

(2)、根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度.

(3)、动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动.设点P的运动时间为t（s）.当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t.

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24. 如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线的下方.

(1)、将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为度；

(2)、在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值.

(3)、将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周.在旋转的进程中，假如第t秒时，OA，OC，ON三条射线构成相等的角，求此时的值为多少？（直接写出答案）

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25. 定义“※”运算，观察下列运算：
(+2)※(+13)=15，(-10)※(-12)=22；

(-5)※(+13)=-18，(+8)※(-10)=-18；

0※(+13)=-13，(-10)※0=10.

(1)、请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：
两数进行“※”运算时，同号，异号，并把绝对值；

特别地，0和任何数进行“※”运算或任何数和0进行“※”运算，都得这个数的.

(2)、计算：(-15)※[0※(+7)].

(3)、若(2※a)×3+2＝4a，求a的值.

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26. 阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度.
解决问题：

(1)、当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数.

(2)、8：00开始几分钟后分针第一次追上时针.

(3)、设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ.问：在8：00～9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？

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27. 如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠D=30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．

(1)、将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．
①此时t的值为 ▲ ；（直接填空）

②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；

(2)、在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；

(3)、在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．

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28. 平面直角坐标系中，点A(x，y)，且x²－8x＋16＋＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形(点A、B、C逆时针排列).

(1)、直接写出点A的坐标是；

(2)、如图1，已知点B(0，n)且0＜n＜4，连接OC. 求四边形ABOC的面积；

(3)、如图2，已知点B(m，n)且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM、CM. 求证：DM⊥CM.

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29. 如图为半圆形计时器，指针 $O M$ 绕点 $O$ 从 $O B$ 开始逆时针向 $O A$ 旋转，速度为 $5^{0}$ 每秒，指针 $O N$ 绕点 $O$ 从 $O A$ 开始先顺时针向 $O B$ 旋转，到达 $O B$ 后再逆时针向回旋转，速度为 $10^{\circ}$ 每秒，两指针同时从起始位置出发，当 $O M$ 到达时，两针都停止旋转。设旋转时间为 $t$ 秒

(1)、求 $t$ 为何值时 $O M$ 与 $O N$ 首次重合；

(2)、求 $∠ M O N$ (用含 $t$ 的代数式表示)；

(3)、直接写出 $∠ B O N = 2 ∠ M O N$ 时 $t$ 的值为.

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30. 如图，点 $A$ ， $B$ 是数轴上两点，点 $A$ 表示的数为 $- 16$ ， $A B = 20$ ．动点 $P$ ， $Q$ 分别从 $A$ ， $B$ 出发，点 $P$ 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点 $Q$ 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 $t (t > 0)$ 秒．

(1)、数轴上点 $B$ 表示的数是．

(2)、求数轴上点 $P$ ， $Q$ 表示的数（用含t的式子表示）．

(3)、若点 $P$ 和 $Q$ 同时出发，t为何值时，这两点相遇？

(4)、若点 $Q$ 比点 $P$ 迟2秒钟出发，则点 $Q$ 出发几秒时，点 $P$ 和点 $Q$ 刚好相距5个单位长度？

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