浙江省温州市环大罗山联盟2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 5)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(3 ， 1)$ D、 $(3 ， 5)$

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2. 已知角 $θ$ 以坐标原点为顶点，以 $x$ 轴的非负半轴为始边，终边经过点 $(2 a - 1 ， a + 2)$ ，且 $c o s θ = \frac{3}{5}$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、2 B、 $\frac{11}{2}$ C、 $- \frac{2}{11}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 将函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象的函数解析式为（）

A、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = c o s 2 x$ C、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $y = s i n 2 x$

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4. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转 $\frac{π}{4}$ 弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $π + 8$ C、 $2 π + 8$ D、 $4 π + 8$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + x - 1$ ，则不等式 $f (x - 1) < 2$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $A D = 6$ ， $B D = 3$ ， $∠ A B C = 45 °$ ，则 $s i n ∠ A D C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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7. 如图，平面内有三个向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ ， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为120°， $\vec{O A}$ ， $\vec{O C}$ 的夹角为150°，且 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 1$ ， $| \vec{O C} | = 3 \sqrt{3}$ ，若 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、-9 C、 $- \frac{9}{2}$ D、9

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 3 x^{2} + 6 x ， x \leq 2 \\ | l o g_{2} (x - 2) | ， x ⟩ 2 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = t$ 有四个实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + \frac{1}{2} x_{4}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{19}{2}$ B、 $\frac{17}{2}$ C、10 D、9

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二、多选题

9. 已知 $i$ 是虚数单位， $z$ 是复数，且 $z \cdot (1 - i) = 1 + 7 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 在复平面上对应的点位于第一象限 B、 $z$ 在复平面上对应的点位于第二象限 C、 $| z | = 5 \sqrt{2}$ D、 $| z | = 5$

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10. 给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（）

A、水平放置的角的直观图一定是角 B、相等的角在直观图中仍然相等 C、相等的线段在直观图中仍然相等 D、两条平行线段在直观图中仍是平行线段

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11. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， 1) (m < 0)$ ，且向量 $\vec{b}$ 满足 $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 3$ ，则（）

A、 $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ B、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} + 2 \vec{b})$ C、向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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12. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - π < φ < - \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，把函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 $\frac{11}{10}$ 倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x + \frac{π}{3})$ 为偶函数 B、 $g (x)$ 的最小正周期是 $π$ C、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 D、 $g (x)$ 在区间 $(\frac{7 π}{12} ， π)$ 上单调递减

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} + l n (4 - x)$ 的定义域是.

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14. 已知在 $△ A B C$ 中， $s i n A ： s i n B ： s i n C = 4 ： 3 ： 2$ ，则 $c o s B$ 等于.

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15. 若 $| \vec{m} | = 4$ ， $| \vec{n} | = 3$ ， $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为60°，则 $| \vec{m} - 2 \vec{n} | =$ ．

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16. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 $T_{0}$ ，经过一定时间t（单位：min）后的温度是T，则 $T - T_{a} = (T_{0} - T_{a}) {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}}$ ，其中 $T_{a}$ 称为环境温度，h为常数，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么这杯咖啡要从37℃降到25℃，还需要min．

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四、解答题

17. 在△ $A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c o s C = \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求△ $A B C$ 的面积.

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18. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为a，过顶点B、D、 $A_{1}$ 截下一个三棱锥．

(1)、求剩余部分的体积；

(2)、求三棱锥 $A - A_{1} B D$ 的高；

(3)、4个面都是直角三角形的四面体，被称为鳖臑．你能写出以该正方体的4个顶点为顶点的鳖臑吗？写出一个即可，不需证明．

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19. 已知向量 $\vec{a}$ ＝（1，2）， $\vec{b}$ ＝（－3，k）．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，求 $| \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{a}$ ＋2 $\vec{b}$ ），求实数k的值；

(3)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角，求实数k的取值范围．

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20. 已知向量 $\vec{a} = (\sin x ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， \sin (\frac{π}{3} - x))$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间和最小正周期；

(2)、若当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $2 f (x) - 1 \leq m$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度 $v$ （单位：千米/小时）和车流密度 $x$ （单位：辆/千米）满足关系式： $v = {\begin{array}{l} 60 ， 0 < x \leq 20 \\ 70 - \frac{k}{140 - x} ， 20 < x \leq 120 \end{array} (k \in R)$ .研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时.

(1)、若车流速度 $v$ 不小于50千米/小时，求车流密度 $x$ 的取值范围；

(2)、隧道内的车流量 $y$ （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足 $y = x \cdot v$ ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.

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22. 已知函数 $f (x) = l g \frac{1 - x}{x + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；指出单调性，不需证明；

(2)、函数 $g (x) = 2 - a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 1)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， - 1 < x < 1 \\ k | x | + 1 ， x \in (- ∞ ， - 1] ∪ [1 ， + ∞) \end{array}$ ，讨论函数 $y = h (h (x)) - 2$ 的零点个数．

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