浙江省温州十校联合体2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\vec{A D} + \vec{D C} - \vec{A B}$ 等于（）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{A D}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{D A}$

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2. 在复平面内，复数 $z = (1 - i)$ （ $i$ 是虚数单位）对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列说法错误的是（）

A、一个八棱柱有10个面 B、任意四面体都可以割成4个棱锥 C、棱台侧棱的延长线必相交于一点 D、矩形旋转一周一定形成一个圆柱

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4. $△ A B C$ 是钝角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 1$ ， $b = 2$ ，则最大边c取值范围是（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(\sqrt{5} ， 3)$ C、 $(1 ， \sqrt{5})$ D、 $(\sqrt{3} ， \sqrt{5})$

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5. 如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（）

A、平行 B、相交 C、是异面直线 D、可能相交，也可能是异面直线

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6. 如果三个函数的图象交于一点，我们把这个点称“三体点”，若点A是三个函数 $f (x) = t$ （t为常数）， $g (x) = \sqrt{2} c o s x$ ， $h (x) = t a n x$ 的“三体点”，其中 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则t的值（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，且AB边上的高为 $\sqrt{2}$ ，则满足条件的 $△ A B C$ 的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足 $\vec{n}$ 与 $\vec{n} - \vec{m}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| λ \vec{n} - \vec{m} | = | λ \vec{n} | (λ > 0)$ ，则正实数 $λ$ （）

A、有最小值，但无最大值 B、有最小值也有最大值 C、无最小值，但有最大值 D、既无最小值也无最大值

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二、多选题

9. 下面给出的关系式中，正确的是（）

A、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ B、 ${\vec{a}}^{2} = | \vec{a} |^{2}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ D、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq \vec{a} \cdot \vec{b}$

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10. 已知复数 $ω = z + \frac{4}{z}$ ，其中z为虚数，则下列结论中正确的是（）

A、当 $z = 1 + i$ 时， $ω$ 的虚部为 $- 1$ B、当 $z = 1 + i$ 时， $| ω | = \sqrt{10}$ C、当 $z = 1 + i$ 时， $\bar{ω} = 3 - i$ D、当 $ω \in R$ 时， $| z | = 4$

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11. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为12，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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12. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (x + φ) c o s x - s i n φ (| φ | < \frac{π}{2})$ ，且对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (\frac{2 π}{3} - x) = - f (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、若 $f (\frac{x_{0}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $f (x_{0} - \frac{π}{12}) = - \frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 若tanα= $\sqrt{2}$ ，则tan（α+ $\frac{π}{4}$ ）= ．

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14. 已知向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 满足 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = \vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2$ ，同一平面上任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则 $| \vec{M N} | =$ .

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15. 如图所示，有棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， P为正方体表面的一个动点，若三棱锥 $A - P B C$ 的体积为1，则 $| P D_{1} |$ 的取值范围是.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A O} \cdot \vec{A D} = 6$ ，其中O为 $△ A B C$ 的外心，则 $△ A B C$ 的面积最大值为.

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四、解答题

17. 如图，已知O为平面直角坐标系的原点， $∠ O A B = ∠ A B C = 120 °$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{B C} | = 2 | \vec{A B} | = 4$ ，

(1)、求 $\vec{O B}$ 和 $\vec{O C}$ 的坐标；

(2)、求向量 $\vec{B C}$ 在向量 $\vec{O A}$ 上的投影向量的坐标.

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18. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 某一周期内的对应值如下表：
$x$
$- \frac{π}{6}$
$\frac{π}{3}$
$\frac{5 π}{6}$
$\frac{4 π}{3}$
$\frac{11 π}{6}$
$f (x)$
-1
1
3
1
-1

(1)、根据表格提供的数据求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、根据（1）的结果，若函数 $y = f (n x) (n > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，求函数 $y = f (n x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上的值域

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19. 把一个半径为3的圆，剪成三个完全一样的扇形（如图1所示），分别卷成相同的无底圆锥（衔接处忽略不计）

(1)、求一个圆锥的体积；

(2)、设这三个圆锥的底面的圆心分别为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ， $O_{3}$ ，将三个圆锥的顶点重合并紧贴一起，记顶点为P（如图2所示），求三棱锥 $P - O_{1} O_{2} O_{3}$ 的表面积.

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20. 请先阅读下列材料；在作战中，有经验的步兵往往能通过“跳眼法”估测物体和自己的距离.具体过程如下：第一步，向正前方伸直左手手臂，竖起拇指；第二步，将右眼闭上，靠左眼观察目标，伸直并端平并移动（可以把左眼到左手拇指的距离看成手臂长），使得目标恰好位于拇指左侧边缘处；第三步，伸出的手臂保持不动，闭上左眼，靠右眼观察，大体估计从左手拇指左侧看到的另一物体与目标的距离；最后即可根据该距离以及你手臂长度､两眼间距来计算你到目标的距离.一般自动步枪有效射程为400 $m$ ，现一人需用自动步枪射击目标P，先采用“跳眼法”预测自己与目标P的距离，此人手臂长60 $c m$ ，双眼间距6 $c m$ ，面朝正北方向，测量时与上述第一步第二步完全相同，第三步用右眼观察时，拇指左侧恰好对准的是参照物Q，参照物Q在目标P的北偏西 $60 °$ ，且与目标P的距离为133.2 $m$ ，（如图所示）

(1)、求 $s i n ∠ C Q P$

(2)、若此人在A处开枪射击，请问目标P是否在射程范围内？请说明理由.

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21. 已知在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $2 a c o s B - c c o s B = c - b c o s A$ ，且 $B \neq \frac{π}{2}$ .

(1)、若 $b = \sqrt{2}$ ， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求B；

(2)、若 $| \vec{C B} + \vec{C A} | = 4$ ，求 $\frac{\sqrt{2}}{2} c + b$ 的最大值.

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22. 点Q在半径为1的圆P上运动的同时，点P在半径为2的圆O上运动，O为定点，P､Q两点的初始位置（如图1所示），其中 $O P ⊥ Q P$ ，且两点均以逆时针方向运动，当点P转过角度α时，Q转过的角度为2α（如图2所示），其中 $α \in [0 ， π]$ 且 $α \neq \frac{π}{2}$ ， G为 $△ O P Q$ 的重心，

(1)、求证： ${\vec{G O}}^{2} - {\vec{G Q}}^{2}$ 为定值；

(2)、把三个实数a，b，c的最小值记为 $m i n {a ， b ， c}$ ，若 $m = m i n {\overset{⇀}{G O} \cdot \overset{⇀}{G Q} ， \overset{⇀}{G O} \cdot \overset{⇀}{G P} ， \overset{⇀}{G P} \cdot \overset{⇀}{G Q}}$ ，求m的取值范围.

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$x$	$- \frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5 π}{6}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{11 π}{6}$
$f (x)$	-1	1	3	1	-1