浙江省七彩阳光联盟2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 复数 $z = 2 - 3 i$ 的虚部为（）

A、3 B、-3 C、3i D、 $- 3 i$

查看试题解析
2. 化简 $\vec{A M} + \vec{M B} - \vec{A C}$ 等于（）

A、 $\vec{C B}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $\vec{C M}$ D、 $\vec{M C}$

查看试题解析
3. 斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（）

A、矩形的直观图一定是矩形 B、等腰三角形的直观图一定是等腰三角形 C、平行四边形的直观图一定是平行四边形 D、菱形的直观图一定是菱形

查看试题解析
4. 正六边形 $A B C D E F$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A F} = \vec{b}$ ， $M$ 为 $C D$ 的中点，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{a} + \frac{5}{3} \vec{b}$ C、 $2 \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{b}$ D、 $2 \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b}$

查看试题解析
5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 2 ， A = \frac{π}{6} ， C = \frac{π}{4}$ ，则b=（）

A、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6} + \sqrt{3}$

查看试题解析
6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ $\vec{b}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\vec{b}$ C、 $\frac{4 + \sqrt{2}}{4}$ $\vec{b}$ D、 $\frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ $\vec{b}$

查看试题解析
7. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据杭州的地理位置设计的表的示意图，已知杭州冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为 $36 . 5^{∘}$ ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为 $83 . 5^{∘}$ ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）

A、 $\frac{a s i n 7 3^{∘}}{2 s i n 4 7^{∘}}$ B、 $\frac{2 s i n 4 7^{∘}}{a s i n 7 3^{∘}}$ C、 $\frac{a s i n 36 . 5^{∘} s i n 83 . 5^{∘}}{s i n 4 7^{∘}}$ D、 $\frac{a t a n 36 . 5^{∘} t a n 83.5 °}{t a n 4 7^{∘}}$

查看试题解析
8. 正方形ABCD的边长为2，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面内一点，且满足 $2 \vec{O P} = λ \vec{O B} + (1 - λ) \vec{O C}$ ，则 $\vec{P M}$ · $\vec{P N}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、-2 D、 $- \frac{7}{4}$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法中正确的是（）

A、棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 B、圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 C、正棱锥的底面边长和侧棱长相等 D、棱台的侧棱延长后必交于一点

查看试题解析
10. 已知正三棱锥的侧棱长为4 $\sqrt{3}$ ，底面边长为6，则（）

A、正三棱锥的表面积为 $9 \sqrt{3} + 27 \sqrt{13}$ B、正三棱锥的高为6 C、正三棱锥的体积为18 $\sqrt{3}$ D、正三棱锥的外接球的表面积为64π

查看试题解析
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = 2 ， A = \frac{π}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、△ABC的外接圆的直径为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $c + 2 b$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ C、若 $b = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则△ABC为锐角三角形 D、若 $b = c c o s A$ ，则△ABC的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
12. 已知 $\vec{a} ，$ $\vec{b}$ 是平面内的两个单位向量，且 $c o s < \vec{a} ， \vec{b} > = \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{a} - t (\vec{a} + \vec{b}) | + \frac{1}{2} | t (\vec{a} + \vec{b}) | (t \in R)$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

查看试题解析

三、填空题

13. 一个圆锥的高为1，母线长为2，则该圆锥的侧面面积为 .

查看试题解析
14. 已知复数 $z = 3 - 2 i$ （为虚数单位）是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ （其中 $p ， q \in R$ ）的一个根，则 $p + q =$ .

查看试题解析
15. 已知向量 $\vec{a} ，$ $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1 ， | \vec{a} - 3 \vec{b} | = 3 ， | \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

查看试题解析
16. 在△ABC中， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{D B} ， \vec{A E} = \vec{E C} ， \vec{B F} = λ \vec{B C}$ ，（ $λ$ ∈R）连结DE，取DE上一点G，使得 $\vec{D G} = 2 \vec{G E}$ ，若GF与∠BAC的平分线平行，则λ的值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = 2 - i ， z_{2} = m + 2 i$ （i为虚数单位， $m \in R$ ），且 $\bar{z_{1}}$ · $z_{2}$ 为纯虚数.

(1)、求 $| z_{1} + z_{2} |$ ；

(2)、设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的点分别为A，B，若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的原点），求点C对应的复数 $z_{3}$ .

查看试题解析
18. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = （ 1 ， 2 ）， | \vec{b} | = 3$

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求向量 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，求向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

查看试题解析
19. 如图，在直三棱柱ABC— $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面△ABC是以角B为直角的等腰直角三角形，且腰长为2，D为BC的中点，三棱柱体积 $V = 4 \sqrt{2}$

(1)、求三棱柱的外接球的表面积和体积；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A D C_{1}$ 的体积.

查看试题解析
20. 锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $(s i n A - s i n C) \cdot (s i n A + s i n C) = s i n B (s i n A - s i n B)$

(1)、求角C；

(2)、求 $s i n^{2} \frac{A}{2} + s i n^{2} \frac{B}{2} + s i n^{2} \frac{C}{2}$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 舟山渔场是中国最大的渔场，自古以来因渔业资源丰富而闻名，地处东海，是浙江省、江苏省、福建省和上海市三省一市渔民的传统作业区域，渔场的中心基地位于嵊山.现嵊山基地正东40海里处一渔船遇险需救援，在基地东偏南 $3 0^{∘}$ 且距离为20 $\sqrt{3}$ 海里处的渔船甲，和在甲正北方向且距离为16 $\sqrt{3}$ 海里处的渔船乙，同时收到了求救信号，甲、乙两船分别以18海里每小时，12海里每小时的航速前往营救，请问谁第一时间到达营救地点，并以怎样的方向前往？（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{13} \approx 3.6 ）$

查看试题解析
22. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b = 3 ， \vec{m} = (a + 2 c ， b) ， \vec{n} = (c o s B ， c o s A) ， \vec{m} \cdot \vec{n} = 0$

(1)、求角B的大小；

(2)、设 $△ A B C$ 的重心为G，过点G的直线分别交线段AB，BC于点E，F，当 $△ A B C$ 面积取最大值时，求 $\vec{B G} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围.

查看试题解析