浙江省宁波六校联盟2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，则 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 5)$ B、 $(- 1 ， 7)$ C、 $(1 ， - 5)$ D、 $(1 ， 7)$

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2. 已知x， $y \in R$ ，若 $4 + (x^{2} - x) i = x^{2} + 2 i$ （i为虚数单位），则x的值为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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3. 已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形 $A' B' C' D'$ ，如图所示，则该平面图形的面积是（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、16 D、 $16 \sqrt{2}$

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4. 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A、 $a = 4 \sqrt{3}$ ， $b = 8$ ， $A = 60 °$ B、 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $A = 120 °$ C、 $a = 3$ ， $b = 4$ ， $A = 45 °$ D、 $a = 4$ ， $b = 3$ ， $A = 60 °$

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5. 已知复数z满足 $| z + 1 - i | = 1$ （i为虚数单位），则 $| \bar{z} |$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、1

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6. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $2 c s i n C = (a + b) (s i n B - s i n A)$ ，则当角C取得最大值时，三角形是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $\vec{B M} = \vec{M C}$ ， $4 \vec{A N} = \vec{A C}$ ，线段 $A M$ 和 $B N$ 交于点 $P$ ，则 $∠ N P M$ 的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{19}}{38}$ B、 $\frac{\sqrt{19}}{38}$ C、 $- \frac{5 \sqrt{7}}{14}$ D、 $\frac{5 \sqrt{7}}{14}$

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8. 已知 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 为平面内两个不共线的向量，满足 $| \vec{m} | = 2$ ， $| \vec{n} | \geq \sqrt{3}$ ， $| \vec{m} + \vec{n} | - | \vec{m} - \vec{n} | = 2$ ，则 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角的最小值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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二、多选题

9. 下列命题中为假命题的是（）

A、长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C、有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D、正四棱柱是平行六面体

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10. 已知复数 $z_{1} = \frac{8}{a - 3} + (a^{2} - 3) i$ ， $z_{2} = 1 + 2 a i (a \in R)$ （i为虚数单位），若 $z_{1} + \bar{z_{2}}$ 为实数，则（）

A、 $a = - 1$ B、 $z_{2} \cdot \bar{z_{2}} = \sqrt{5}$ C、 $\bar{z_{1}} \cdot z_{2}$ 为纯虚数 D、复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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11. 已知△ABC的重心为G，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A G} + \vec{B G} + \vec{C G} = \vec{0}$ B、若 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则 $\frac{S_{Δ A B E}}{S_{Δ A B C}} = \frac{2}{3}$ C、若 $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A G} = \frac{10}{3}$ D、若 $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则当 $\vec{E A} \cdot \vec{E B}$ 取得最小值时， $| \vec{E A} | = \frac{\sqrt{37}}{2}$

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12. 已知点 $A ， B ， C ， D$ 是半径为 $2$ 的球面上不共面的四个点，且 $A B = C D = 2 \sqrt{3}$ ，则四面体 $A B C D$ 体积的值可能为（）

A、3 B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、6

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (1 ， - 3)$ ，若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + m \vec{b})$ ，则实数 $m =$ ．

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14. 设复数 $z = c o s θ + i s i n θ (θ \in R)$ 满足 $| z | = | z - i |$ （ $i$ 为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第一象限，则 $z =$ ．

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15. 古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且 $s i n ∠ A B D ： s i n ∠ A D B ： s i n ∠ B C D = 2 ： 3 ： 4$ ，若 ${| A C |}^{2} = λ | B C | · | C D |$ ，则实数 $λ$ 的最小值为．

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16. 已知△ABC中， $| \vec{A B} | = 2$ ，且 $| (1 - t) \vec{A B} + 2 t \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} | (t \in R)$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} =$ ．

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四、解答题

17. 已知复数 $z = (a - 2) + a i$ （i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点的坐标满足方程 $2 x + y + 1 = 0$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、若向量 $\vec{O Z}$ 与复数z对应，把 $\vec{O Z}$ 绕原点按顺时针方向旋转90°，得到向量 $\vec{O Z_{1}}$ ．求向量 $\vec{O Z_{1}}$ 对应的复数 $z_{1}$ （用代数形式表示）．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 的中心为O，点E是侧棱 $B B_{1}$ 上的一个动点．

(1)、求直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积；

(2)、求证：三棱锥 $E - A A_{1} O$ 的体积为定值．

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19. 已知点 $M (\frac{1}{2} s i n 2 x ， s i n^{2} x)$ ， $N (2 ， 2 \sqrt{3})$ ， O为坐标原点，函数 $f (x) = \vec{O M} \cdot \vec{O N}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式和最小正周期；

(2)、在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，AD为BAC的角平分线， $A B = 2 A C$ ， $B D = 2$ ，若 $f (A) = \sqrt{3}$ ，求△ACD面积．

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20. 如图，在平行四边形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $∠ A D C = \frac{2}{3} π$ ， E为CD中点，且 $\vec{A F} = λ \vec{A D}$ ，（ $0 ≤ λ ≤ 1$ ）．

(1)、若 $\vec{A E} ⊥ \vec{B F}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、求 $\vec{B F} \cdot \vec{F E}$ 的取值范围．

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21. 如图，某专用零件四边形ABCD由平面图是一个半圆形钢板切割而成，其中O为圆心， $A B = 2$ ， OC平分角BOD交圆于点C，D为圆弧上一点，设 $∠ B O C = θ$ ．

(1)、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，求该零件的面积；

(2)、若该零件周长为函数 $f (θ)$ ，且 $f (θ) - m^{2} - 4 m \leq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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22. 如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为2，高为4，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．

(1)、若点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；

(2)、求该八面体表面积S的取值范围．

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