浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ x < 2} ， B = {x ∣ - 1 < x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ x < - 1$ 或 $x > 3}$ B、 ${x ∣ 2 < x < 3}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ D、 ${x ∣ - 1 < x < 3}$

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2. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 1 - i$ （i为虚数单位），则z的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、1 D、-1

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c ， a = \sqrt{6} ， b = 2 ， A = \frac{π}{4}$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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4. 若函数 $f (x) = (a^{x} - 1) (x - b + 1)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $0 < a < 1 ， b < 1$ B、 $0 < a < 1 ， b > 1$ C、 $a > 1 ， b < 1$ D、 $a > 1 ， b > 1$

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5. 已知不共线平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在非零向量 $\vec{c}$ 上的投影向量互为相反向量，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ D、 $(\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c}$

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6. 古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形 $A B C D E F G H$ 中，若 $\vec{A C} = x \vec{A B} + y \vec{A H} (x ， y \in R)$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $1 + 2 \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、3

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7. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处 $C$ 点的高度，小王在场馆内的 $A ， B$ 两点测得 $C$ 的仰角分别为 $4 5^{∘} ， 3 0^{∘} ， A B = 60$ （单位： $m$ ），且 $∠ A O B = 3 0^{∘}$ ，则大跳台最高高度 $O C =$ （）

A、 $45 m$ B、 $45 \sqrt{2} m$ C、 $60 m$ D、 $60 \sqrt{3} m$

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8. 已知实数 $a ， b$ 满足 $a > b > 0$ ，则“ $0 < c < b$ ”是“ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b - c}$ ”（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、棱柱的侧面一定是矩形 B、三个平面至多将空间分为7个部分 C、圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成 D、任意五棱锥都可以分成3个三棱锥

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10. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (2 x + \frac{2}{3} π) + 1$ .（）

A、任意 $x \in R ， f (x) = f (x - π)$ B、任意 $x \in R ， f (\frac{π}{3} + x) = f (\frac{π}{3} - x)$ C、任意 $- \frac{π}{3} < x_{1} < x_{2} < \frac{π}{6} ， f (x_{1}) > f (x_{2})$ D、存在 $x_{1} ， x_{2} \in R ， f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4$

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11. 下列说法正确的是（）

A、若平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，则 ${\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} \geq 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ B、若平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} \geq 2 | \vec{a} \cdot \vec{b} |$ C、若复数 $z_{1} ， z_{2}$ ，则 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} \geq 2 z_{1} z_{2}$ D、若复数 $z_{1} ， z_{2}$ ，则 ${| z_{1} |}^{2} + {| z_{2} |}^{2} \geq 2 | z_{1} z_{2} |$

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12. 如图，已知边长为1的正方形 $A B C D ， P$ 是线段 $A D$ 上的动点（包括端点）， $E ， F$ 分别是 $P B ， P C$ 上动点，且 $\vec{B E} = λ \vec{B P} ， \vec{C F} = μ \vec{C P} (0 < λ ， μ < 1) ， M ， N$ 分别是 $B C ， E F$ 中点，下列说法正确的是（）

A、 $2 \vec{M N} = \vec{B E} + \vec{C F}$ B、若 $λ + μ = 1$ ，则 $| \vec{M N} |$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、若 $| \vec{M N} | = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C F}$ 的最小值为 $\frac{3}{16}$ D、若 $| \vec{M N} | = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C F}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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三、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， - 1) ， \vec{b} = (t ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $t =$ .

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14. 已知 $△ A B C$ 利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为 $2$ 的等腰直角三角形，则 $△ A B C$ 的面积是.

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15. 欧立公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ （ $i$ 为虚数单位， $e$ 为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中 $θ$ 取作 $π$ 就得到了欧拉恒等式 $e^{i π} + 1 = 0$ ，它将两个超越数——自然底数 $e$ ，圆周率 $π$ ，两个单位一虚数单位 $i$ ，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ ，则 $z^{3} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = x + 1 - \sqrt{x^{2} - x + 1}$ ，若对于 $\forall y_{i} \in {y ∣ y = f (x) ， x \geq 1} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，不等式 $y_{1} + y_{2} + ⋯ + y_{n - 1} \geq 2022 y_{n}$ 恒成立，则正整数 $n$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ 是方程 $z^{2} - z + 1 = 0$ 的解.

(1)、求 $\frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$ 的值；

(2)、若复平面内表示 $z_{1}$ 的点在第四象限，且 $z_{1} \cdot (a + i)$ 为纯虚数，其中 $a \in R$ ，求 $a$ 的值.

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18. 现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为 $2$ （单位： $c m$ ）的正三角形.

(1)、求该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）；

(2)、求该几何体的表面积（单位： $c m^{2}$ ）.

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19. △ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c ， 2 a c o s B = 2 c + b ， b = 1$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $B C$ 边的中线 $A D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求△ $A B C$ 面积.

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20. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1$ .

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，求函数 $f (x) = | s i n x \cdot \vec{a} + c o s x \cdot \vec{b} |$ 的最小值.

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21. 物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为 $T_{0}$ ，经过一段时间 $t$ 后的温度为 $T$ ，则 $T - T_{c} = (T_{0} - T_{c}) \cdot a^{t}$ ，其中 $T_{c}$ 为环境温度， $a$ 为参数.某日室温为 $2 0^{∘} C$ ，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到 $10 0^{∘} C ， 8$ 点18分时，壶中热水自然冷却到 $6 0^{∘} C$ .

(1)、求8点起壶中水温 $T$ （单位： $^{∘} C$ ）关于时间 $t$ （单位：分钟）的函数 $T = f (t)$ ；

(2)、若当日小王在1升水沸腾 $(10 0^{∘} C)$ 时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生显会自动检测壸内水温，当壶内水温高于临界值 $M$ 时，设备不工作；当壸内水温不高于临界值 $M$ 时，开始加热至 $8 0^{∘} C$ 后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为 $5 0^{∘} C$ .（参考数据： $l o g_{2} 3 \approx 1.585$ ）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值 $M$ .

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22. 已知函数 $f (x) = | x | (x - 2 a)$ ， $g (x) = | a x - b |$ ，其中 $a < 0$ ， $b > 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 恰好存在三个零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = - 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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