山东省济宁市经开区2022年第三次（5月）中考模拟数学试题

试卷更新日期：2022-05-31 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 若 $\sqrt{a} = 5$ ，则a的值为（）

A、10 B、 $\sqrt{5}$ C、25 D、±25

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2. 下列运算结果正确的是（）

A、 $2 x + 3 x = 5 x^{2}$ B、 $(- x)^{8} \div (- x)^{4} = x^{4}$ C、 $(- 2 x y^{2})^{3} = - 6 x^{3} y^{6}$ D、 ${(3 x + 2 y)}^{2} = 9 x^{2} + 4 y^{2}$

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3. 中国传统纹饰图案不但蕴含了丰富的文化，而且大多数图案还具有对称美．下列纹饰图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 25 °$ ，点D是AB延长线上一点，过点D作 $E F ∥ B C$ ．若 $∠ A D E = 70 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、25° B、35° C、45° D、55°．

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5. 若代数式 $\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x - 3}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x＞ $\frac{2}{3}$ 且x≠3 B、x≥ $\frac{2}{3}$ C、x≥ $\frac{2}{3}$ 且x≠3 D、x≤ $\frac{2}{3}$ 且x≠﹣3

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6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（）

A、 ${\begin{matrix} 7 x + 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 7 x + 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 7 x - 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 7 x - 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{matrix}$

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点M为边AD上一点， $A M = 2 D M$ ， BM平分 $∠ A B C$ ，点E，F分别是BM，CM的中点，若 $E F = 3 c m$ ，则AB的长为（）

A、5.5cm B、5cm C、4.5cm D、4cm

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8. 若直角三角形的两边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两根，则该直角三角形的面积是（）

A、6 B、12 C、12或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ D、6或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$

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9. 下列命题中真命题的个数是（）
①在函数 $y = \frac{m^{2} + 1}{x}$ （m为常数）中，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $y_{1} > y_{2}$
②相等的圆心角所对的弧相等；
③三角形的内心到三边的距离相等；
④顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
⑤对于任意实数m，关于x的方程 $x^{2} + (m + 3) x + m + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根．

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. $x^{2} y - 6 x y + 9 y =$ ．

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12. 如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边 $△ C D F$ ，则 $∠ B F C$ 的数为．

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13. 如图所示，用棋子摆成“T”字形，按照图①，图②，图③的规律摆下去，若摆成第n个“T”字形需要m颗棋子，则m关于n的关系式是．

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14. 如图，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作 $B D ∥ A C$ 交⊙O于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若 $∠ C D B = 30 ° ， D B = 4 \sqrt{3}$ ﹐则图中阴影部分的面积是（结果保留 $π$ ）

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFG和正方形ACDE，CG交AB于点M，BD交AC于点N．若 $C M = 2 G M$ ，则 $\frac{B N}{D N} =$ ．

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $[{(2 x - y)}^{2} + x (y - 4 x) + 8 y^{2}] \div 3 y$ ，其中 $| 2 x - 1 | + {(y + 2)}^{2} = 0$ ．

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17. 2021年12月9日，“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组： $60 \leq x < 70$ ；B组： $70 \leq x < 80$ ；C组： $80 \leq x < 90$ ；D组： $90 \leq x \leq 100$ ，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：

(1)、扇形统计图中，表示“C”的扇形圆心角的度数是．

(2)、请补全频数分布直方图；

(3)、若规定学生竞赛成绩 $x \geq 80$ 为优秀，则估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是．

(4)、竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（ $x \geq 80$ ）的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概率是多少？

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18. 如图，一次函数 $y = x + 1$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象相交于点 $A (m ， 3)$ 和点B．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、过点B作 $B C ⊥ x$ 轴于C，求 $S_{△ A B C}$ ；

(3)、点D是y轴上一动点，当 $△ B C D$ 周长最小时，点D坐标为．

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19. 如图，AC是⊙O直径，D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且 $F C = F E$ ．

(1)、求证：CF是⊙O的切线；

(2)、若 $B F = 9$ ， $c o s ∠ F = \frac{3}{5}$ ，求⊙ $O$ 的半径．

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20. 北京冬奥会盛大开幕，憨态可掬的一对吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”吸引了全世界的目光，冬奥特许商品迎来销售高峰．某网店销售“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，已知每个“冰墩墩”毛绒玩具的售价比每个“雪容融”毛绒玩具多15元，王老师从该网店购买了2个“冰墩墩”毛绒玩具和3个“雪容融”毛绒玩具，共花费255元．

(1)、该网店“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具售价各是多少元？

(2)、根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具共200个，且“冰墩墩”毛绒玩具的数量大于“雪容融”毛绒玩具数量的 $\frac{3}{5}$ ，已知每个“冰墩墩”毛绒玩具的进价为50元，每个“雪容融”毛绒玩具的进价为40元．
①若设购进“冰墩墩”毛绒玩具m个，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进毛线玩具全部售出，请求出网店所获利润W（元）与“冰墩墩”毛绒玩具进货量m（个）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？

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21. 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.

材料二：若关于x的一元二次方程ax²+bx +c= 0（a≠0）的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

问题解决：

(1)、请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的方程ax²+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根， $x_{3}$ 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解.求证：x₁ ， x₂ ， x₃可以构成“和谐三数组”；

(3)、若A（m，y₁），B（m + 1，y₂），C（m+3，y₃）三个点均在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值.

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22. 如图，平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 2)$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图1，点D是第一象限内抛物线上一动点，设点D的横坐标为m，连接 $C D$ ， $B D$ ， $B C$ ， $A C$ ．当m何值时， $△ B C D$ 的面积最大？最大面积是多少？

(3)、如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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