山东省济南市章丘区2022年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $\sqrt{9}$ 的值是（　　）

A、﹣3 B、3或﹣3 C、3 D、9

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2. 如图，正三棱柱的主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 银河系中大约有恒星160 000 000 000颗，数据160 000 000 000用科学记数法表示为（）

A、0.16×10¹² B、1.6×10¹¹ C、16×10¹⁰ D、160×10⁹

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4. 下列选项中的垃圾分类图标，属于中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图所示，AE//BC，EF⊥BD，垂足为E， $∠ 1 = 28 °$ ，则∠2的度数为（）

A、30° B、40° C、62° D、50°

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6. 下列计算正确的是（）.

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{3} \cdot a^{3} = 2 a^{3}$ C、 $(- 2 a)^{2} = - 4 a^{2}$ D、 $a^{7} \div a^{5} = a^{2}$

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7. 如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（）

A、130° B、124° C、114° D、100°

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8. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（）

A、7h ， 7h B、8h ， 7.5h C、7h ， 7.5h D、8h ， 8h

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9. 正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限，则一次函数y＝﹣kx＋k的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 $A P$ 交边 $B C$ 于点D，点E在 $A B$ 上．若 $A C = 6$ ， $C D = 2$ ， $A B = 7$ ，当 $D E$ 最小时， $Δ B D E$ 的面积是（）

A、2 B、1 C、6 D、7

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11. 在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB 约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是（）m．（结果精确到1m）．（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4）

A、2.5 B、2.6 C、2.8 D、3

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12. 已知函数 $y = x^{2} + x - 1$ 在 $m \leq x \leq 1$ 上的最大值是1，最小值是 $- \frac{5}{4}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 2$ B、 $0 \leq m \leq \frac{1}{2}$ C、 $- 2 \leq m \leq - \frac{1}{2}$ D、 $m \leq - \frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 分解因式： $a^{3} - 4 a$ ＝.

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14. 在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球.从袋中随机摸出一个球，是黄球的概率为.

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15. 若关于x的一元二次方程x²+kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．

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16. 如图，从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为cm² ．

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17. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点E、F分别是边 $A B$ 、 $B C$ 上的动点，且 $E F = 4$ ，点G是 $E F$ 的中点， $A G$ 、 $C G$ ，则四边形 $A G C D$ 面积的最小值为．

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三、解答题

19. 计算： $| \sqrt{2} - 2 | - 2 c o s 4 5^{∘} + \sqrt{18} - 8 \times 2^{- 2}$

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20. 解方程： $\frac{2 x}{x - 1} - 1 = \frac{4}{1 - x}$ .

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21. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．

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22. 达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、参加演讲比赛的学生共有人，扇形统计图中m= ， n= ，并把条形统计图补充完整．

(2)、学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A₁、A₂表示，女生分别用代码B₁、B₂表示）

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23. 如图， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 为直径， $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $⊙ O$ 于点D，过点D作 $⊙ O$ 的切线 $D E$ ，交 $B C$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $D E ⊥ B C$ ；

(2)、若 $C E = 1$ ， $D E = \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．

(1)、若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？

(2)、若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

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25. 如图1，四边形 $A B C D$ 为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且 $O A = 4$ ， $O B = 2$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

(1)、求点C的坐标和反比例函数的关系式；

(2)、如图 $2$ ，将正方形 $A B C D$ 沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点 $A^{'}$ 恰好落在反比例函数的图象上，求n值．

(3)、在（2）的条件下，坐标系内是否存在点P，使以点O， $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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26. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ， $M N$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 边上一点，连接 $M N$ ，且 $M N ∥ A C$ ，将 $△ A B C$ 绕点B在平面内旋转．

(1)、观察猜想
$△ A B C$ 绕点B旋转到如图2所示的位置，若 $α = 60 °$ ，则 $\frac{A M}{C N}$ 的值为．

(2)、类比探究
若 $α = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点B旋转到如图3所示的位置，求 $\frac{A M}{C N}$ 的值．

(3)、拓展应用
若 $α = 90 °$ ， M为 $A B$ 的中点， $A B = 4$ ，当 $A M ⊥ B N$ 时，请直接写出 $C N$ 的值．

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27. 如图，已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 $x = - 1$ ，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，在抛物线的对称轴直线 $x = - 1$ 上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

(3)、如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q坐标.

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