山东省济南市莱芜区2022年中考二模数学试题

试卷更新日期：2022-05-31 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2022的相反数是（）

A、2022 B、 $\frac{1}{2022}$ C、﹣2022 D、 $- \frac{1}{2022}$

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2. 如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）

A、俯视图 B、主视图和俯视图 C、主视图和左视图 D、左视图和俯视图

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3. 2022年北京冬奥会中国队运动员微博、抖音账号累计收获超8 000万粉丝关注，谷爱凌抖音平台迅速圈粉，美兰德数据显示，其抖音粉丝量已突破1 800万人．数据1 800万用科学记数法表示为（）

A、 $1.8 \times 1 0^{6}$ B、 $18 \times 1 0^{6}$ C、 $1.8 \times 1 0^{7}$ D、 $1.8 \times 1 0^{8}$

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4. 如图， $A B / / C D ， ∠ B M F = 152 °$ ， FM平分 $∠ E F D$ ，则 $∠ E N M =$ （）

A、 $28 °$ B、 $56 °$ C、 $62 °$ D、 $76 °$

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5. 对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 10 ， A C = 6$ ，把 $R t △ A B C$ 沿直线BC向右平移6个单位长度得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则四边形 $A B C^{'} A^{'}$ 的面积是（）

A、40 B、56 C、60 D、64

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7. 下列计算正确的是（）

A、 $3 m n - 5 m n = - 2 m n$ B、 $(m + n)^{2} = m^{2} + n^{2}$ C、 $(m - n) (- m - n) = m^{2} - n^{2}$ D、 ${(m^{2})}^{3} = m^{5}$

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8. 莱芜区某中学在预防新冠肺炎期间，要求学生每天测量体温，九（1）班一名同学记录了他一周的体温情况，并将统计结果绘制了如图所示的折线统计图．下列说法错误的是（）

A、这一周体温数据的众数是36.2 B、这一周体温数据的中位数是36.3 C、这一周体温数据的平均数是36.3 D、这一周体温数据的极差是0.1

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9. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使 $B E = B D$ ．分别以D，E为圆心、以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C B A$ 内交于点F；作射线BF交AC于点G，若 $C G = 3$ ， P为AB上一动点，则GP的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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10. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 与正比例函数 $y = x (x \geq 0)$ 的图象如图所示，点 $A (1 ， 3)$ ，点 $A^{^{'}} (3 ， b)$ 与点 $B^{^{'}}$ 均在反比例函数的图象上，点B在直线 $y = x$ 上，四边形 $A A^{'} B^{'} B$ 是平行四边形，则B点的坐标为（）

A、 $(\sqrt{7} ， \sqrt{7})$ B、 $(\sqrt{6} ， \sqrt{6})$ C、 $(\sqrt{7} ， - \sqrt{7})$ D、 $(\sqrt{5} ， \sqrt{5})$

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11. 如图，在菱形ABCD中， $A B = A C = 6$ ，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且 $A M = 2$ ，点P是线段BD上的一个动点，则 $M P + \frac{1}{2} P B$ 的最小值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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12. 定义：平面直角坐标系中，点 $P (x ， y)$ 的横坐标x的绝对值表示为 $| x |$ ，纵坐标y的绝对值表示为 $| y |$ ，我们把点 $P (x ， y)$ 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 $P (x ， y)$ 的折线距离，记为 $| M | = | x | + | y |$ （其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 与直线 $y = x$ 只有一个交点M，已知点M在第一象限，且 $2 \leq | M | \leq 4$ ，令 $t = 2 b^{2} - 4 a + 2022$ ，则t的取值范围为（）

A、 $2018 \leq t \leq 2019$ B、 $2019 \leq t \leq 2020$ C、 $2020 \leq t \leq 2021$ D、 $2021 \leq t \leq 2022$

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二、填空题

13. 分解因式： $m^{2} - 4 m + 4 =$ ．

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14. 在一个不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出红球的概率是．

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15. 代数式 $\frac{x + 1}{x}$ 与代数式 $\frac{1}{x - 2}$ 的和为1，则x= ．

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16. 一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大 $20 °$ ，则这个正多边形的边数为．

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17. 如图，在扇形 $O A B$ 中，已知 $∠ A O B = 90 °$ ， $O A = 2$ ，过 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点C作 $C D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O B$ ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为．

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18. 如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD>AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE=EF，CE=1，则AD= ．

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三、解答题

19.

(1)、 $(π + 1)^{0} + 2^{- 2} - \frac{1}{2} s i n 30 ° + | - \sqrt{9} |$

(2)、先化简，再求值： $\frac{a^{2}}{a^{2} - 1} \div (\frac{1}{a - 1} + 1)$ ，再从不等式 $- 2 < a \leq 2$ 中选择一个你喜欢的整数解代入求值．

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20. 为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：
9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，8，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9．
在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：
睡眠时间分布情况图
睡眠时间分组统计表
组别
睡眠时间分组
人数（频数）
1
$7 \leq t < 8$
m
2
$8 \leq t < 9$
12
3
$9 \leq t < 10$
n
4
$10 \leq t < 11$
4
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、m= ， n= ， a= ， b=；

(2)、抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在组（填组别）；

(3)、如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．

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21. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以AC为直径的 $⊙ O$ 与AB相交点D、E是BC的中点．

(1)、判断ED与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为3， $∠ D E C = ∠ A$ ，求 $\overset{⌢}{D C}$ 的长．

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22. 如图，5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行52米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为 $37 °$ ，悬崖BC的高为78米，斜坡DE的坡度户 $i = 1 ： 2.4$ ．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60 ， c o s 37 ° \approx 0.80 ， t a n 37 ° \approx 0.75$ ．）

(1)、求斜坡DE的高EH的长；

(2)、求信号塔AB的高度．

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23. 某药店购进甲、乙两种医用口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元．小刘从该药店购买2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．

(1)、该药店甲、乙两种口罩每袋的售价各是多少元？

(2)、根据消费者需求，药店决定用不超过1900元购进甲、乙两种口罩共100袋，且甲种口罩的数量至少比乙种口罩多30袋，已知甲种口罩每袋的进价为20元，乙种口罩每袋的进价为16元．若使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？

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24. 四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A，连接BM和DN．

(1)、如图1，若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A旋转 $α$ 角（ $0 ° < α < 360 °$ ）时，BM和DN的数量关系是，位置关系是；

(2)、如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且 $\frac{A B}{A D} = \frac{A M}{A N} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ，判断BM和DN的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若 $A B = 2 ， A M = 1$ ，矩形AMPN绕点A逆时针旋转 $α$ 角（ $0 ° < α < 360 °$ ），当 $M N / / A B$ 时，求线段DN的长．

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25. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点坐标为 $(1 ， 4)$ ，与x轴交于点 $A ， B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．

(1)、求这条抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求 $\frac{M E}{A E}$ 的最大值及此时点M的坐标；

(3)、如图2，已知点 $Q (0 ， 1)$ ，是否存在点M，使得 $t a n ∠ M B Q = \frac{1}{2}$ ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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组别	睡眠时间分组	人数（频数）
1	$7 \leq t < 8$	m
2	$8 \leq t < 9$	12
3	$9 \leq t < 10$	n
4	$10 \leq t < 11$	4