山东省菏泽市牡丹区2022年中考二模数学试题

试卷更新日期：2022-05-31 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数 $| - 3.14 |$ ， -3， $\sqrt{3}$ ， $- π$ 中，最小的数是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、-3 C、 $| - 3.14 |$ D、 $- π$

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2. 下列图形是用数学家的名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、科勒曲线 C、笛卡尔心形曲线 D、斐波那契螺旋曲线

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3. 如图所示的是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，和“富”字一面相对面的字是（）

A、强 B、明 C、文 D、主

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $3 a + a = 3 a^{3}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

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5.
如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（　　）

A、60° B、50° C、40° D、30°

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6. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）

A、（ $\sqrt{5}$ ﹣1，2） B、（ $\sqrt{5}$ ，2） C、（3﹣ $\sqrt{5}$ ，2） D、（ $\sqrt{5}$ ﹣2，2）

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7. 如图是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为 $x = \frac{1}{2}$ ，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若 $(- \frac{5}{2} ， y_{1})$ ， $(\frac{5}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，则y₁<y₂；⑤ $\frac{1}{4}$ b>m(am+b) (其中m≠ $\frac{1}{2}$ )．其中说法正确的是（）

A、①②④⑤ B、①②④ C、①④⑤ D、③④⑤

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8. 如图，在正方形ABCD中，顶点 $A (- 5 ， 0)$ ， $C (5 ， 10)$ ，点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点G的坐标为（）

A、 $(4 ， 3)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(- 4 ， - 3)$ D、 $(- 3 ， - 4)$

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二、填空题

9. 2021年10月16日，神舟十三号载人飞船顺利将三位宇航员送入太空，飞船平均飞行速度为每小时2844万米，用科学记数法表示2844万为．

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10. 已知x＝2，x+y＝3，则x²y+xy²＝．

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11. 满足不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > x \\ \frac{x + 5}{2} - x \geq 1 \end{array}$ 的最小整数解是．

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12. 对于实数a、b，定义一种新运算“ $\otimes$ ”为： $a \otimes b = \frac{1}{a - b^{2}}$ ，这里等式右边是实数运算．例如： $1 \otimes 3 = \frac{1}{1 - 3^{2}} = - \frac{1}{8}$ ，则方程 $x \otimes (- 2) = \frac{2}{x - 4} - 1$ 的解是．

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13. 如图，已知矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，点P是位似中心，若点B、F的坐标分别为 $(4 ， 3)$ 、 $(- 2 ， 1)$ ，则点P的坐标为．

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14. 如图，点 $A$ 是双曲线 $y = - \frac{6}{x}$ 在第二象限分支上的一个动点，连接 $A O$ 并延长交另一分支于点 $B$ ，以 $A B$ 为底作等腰 $△ A B C$ ，且 $∠ A C B = 120 °$ ，点 $C$ 在第一象限，随着点 $A$ 的运动点 $C$ 的位置也不断变化，但点 $C$ 始终在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上运动，则 $k$ 的值为.

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三、解答题

15. 计算： ${(2022 - π)}^{0} + 2 c o s 30 ° - {(\frac{1}{3})}^{- 1} - | \sqrt{12} - 2 |$ ．

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16. 先化简，再求值 $(\frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 4 a + 4} - \frac{1}{2 - a}) \div \frac{2}{a^{2} - 2 a}$ ，其中 $a$ 满足 $a^{2} + 3 a ﹣ 2 ＝ 0 ．$

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17. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．

(1)、求证：四边形BNDM是菱形；

(2)、若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．

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18. 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．

(1)、求每个篮球和每个足球的售价；

(2)、如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？

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19. 为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地 $A$ 和人工智能科技馆 $C$ 参观学习．如图，学校在点 $B$ 处， $A$ 位于学校的东北方向， $C$ 位于学校南偏东 $30 °$ 方向， $C$ 在 $A$ 的南偏西 $15 °$ 方向的 $(2 + 2 \sqrt{3}) k m$ 处．求学校 $B$ 和红色文化基地 $A$ 之间的距离．

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = x + b$ 的图象经过点 $A (- 2 ， 0)$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $B (a ， 4)$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、设 $M$ 是直线 $A B$ 上一点，过 $M$ 作 $M N / / x$ 轴，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $N$ ，若 $A ， O ， M ， N$ 为顶点的四边形为平行四边形，求点 $M$ 的坐标.

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21. 为了庆祝建党100周年，歌颂党的光辉历史，育星中学举行了“童心向党·青春追梦”主题朗诵比赛.比赛结束后对参赛学生的成绩进行了统计，绘制出如下的统计图①和②.请根据相关信息解答下列问题：

(1)、图①中m的值为，这组比赛成绩数据的平均数是，众数是，中位数是；

(2)、学校决定从获得10分的1名男生和2名女生中任选两名学生参加区级比赛，请用列表法或画树状图法求选中一名男生一名女生的概率.

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22. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C为 $⊙ O$ 上一点，PC切 $⊙ O$ 于点C， $A E ⊥ P C$ 交PC的延长线于点E，AE交 $⊙ O$ 于点D，PC与AB的延长线相交于点P，连结AC、BC.

(1)、求证：AC平分 $∠ B A D$ ；

(2)、若 $P B ： P C = 1 ： 2$ ， $P B = 4$ ，求AB的长.

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23.

(1)、问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $∠ C A B = ∠ C D E = 45 °$ ，点D是线段AB上一动点，连接BE．填空：
① $\frac{B E}{A D}$ 的值为；
② $∠ D B E$ 的度数为．

(2)、类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $∠ C A B = ∠ C D E = 60 °$ ，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断 $\frac{B E}{A D}$ 的值及 $∠ D B E$ 的度数，并说明理由；

(3)、拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若 $A C = 2$ ，则当△CBM是直角三角形时，求线段BE的长．

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24. 如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（ $x_{1}$ ， 0）、B（ $x_{2}$ ， 0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程x²+3x﹣4＝0的两个根．

(1)、求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；

(2)、垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；

(3)、在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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