浙江省新昌天台临海三地2022届高三下学期数学5月适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 0 < x < 4}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{2} B、 ${2 ， 3}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 若 $z = 1 - i$ （i为虚数单位），则 $| z^{2} + 2 z | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 若x，y满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 0 ， \\ x + y \leq 3 ， \\ x \geq 0 ， \end{array}$ 则 $3 x + 2 y$ 的最大值为（）

A、3 B、6 C、7 D、8

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4. 某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）为（）

A、4 B、6 C、12 D、15

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5. 函数 $f (x) = \frac{x}{\cos x - 1}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设x是实数，则“ $x > 3$ ”是“ $x - \frac{3}{x} > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左､右焦点，P为椭圆上一点，且 $P F_{2}$ 垂直x轴，以 $F_{2}$ 为圆心的圆与直线 $P F_{1}$ 相切于点T，则T的横坐标为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，E，F分别为棱 $B C ， C D$ 上的动点.若直线 $C C_{1}$ 与平面 $E F C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、任意点E，F，二面角 $C_{1} - E F - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ B、任意点E，F，点C到面 $E F C_{1}$ 的距离为 $\frac{3}{2}$ C、存在点E，F，使得直线 $C_{1} E$ 与 $A D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、存在点E，F，使得线段 $E F$ 长度为 $2 \sqrt{3}$

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9. 已知 $x - 2 y = 2$ ，则 $(x^{2} - 4) \cdot (1 - y^{2})$ 的最大值是（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、4 D、6

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10. 已知等差数列 ${a_{n}} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， k ， k \in N^{*})$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 3 a_{n} ， a_{1} = 1$ ，若 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{k} = 5$ ，则k的最大值是（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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二、填空题

11. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题可以理解为“如果 $C D$ 为圆O的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于E， $C E = 1$ 寸， $A B = 10$ 寸，那么直径 $C D$ 的长为寸”.

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， A D = 2 ， B C = C D$ 且 $B C ⊥ C D$ ，则四边形 $A B C D$ 面积取最大值时， $t a n ∠ D B A =$ .

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13. 已如平面向量 $\vec{a_{1}} ， \vec{a_{2}} ， \vec{a_{3}} ， \vec{a_{4}} ， \vec{a_{5}} ， \vec{a_{6}}$ 两两都不共线.若 $| \vec{a_{1}} | = | \vec{a_{i}} - \vec{a_{i + 1}} | = 1 ， \vec{a_{i}} \cdot \vec{a_{i + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{2} | \vec{a_{i}} | \cdot | \vec{a_{i + 1}} | (i \in {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5})$ ，则 $\vec{a_{1}} \cdot (\vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} + \vec{a_{4}} + \vec{a_{5}} + \vec{a_{6}})$ 的最大值是.

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x + 2 y = 0$ ，则 $b =$ ；离心率 $e =$ .

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15. 已知二项展开式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6} = a_{0} x^{12} + a_{1} x^{9} + a_{2} x^{6} + a_{3} x^{3} + a_{4} + a_{5} x^{- 3} + a_{6} x^{- 6}$ ，则 $a_{4} =$ ； $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{| l n x |} ， x > 0 ， \\ \frac{x + a}{x - 1} ， x \leq 0 ， \end{array}$ ，则 $f (1) =$ ；若 $f (f (- 1)) = 1$ ，则实数 $a =$ .

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17. 已知甲盒子里有3个球，其中1个红球，2个黑球；乙盒子里有5个球，其中3个红球，2个黑球.先从甲盒中取1个球，再从乙金中取2个球.设两次取球之后取到红球的总个数为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 0) =$ ； $E (ξ) =$ .

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，且 $D (0 ， - 1) ， △ A B C$ 的面积等于 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (α + \frac{π}{6}) = - \frac{4}{3}$ ，且 $α \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，求 $f (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D ， A B ∥ C D ， A B ⊥ B C ， ∠ P D C = ∠ A D C = 120 ° ，$ $A D = C D = P D = 2$ .

(1)、求证： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{2} = 2 ， a_{5} = 16$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 0$ 且 $b_{n + 1} + b_{n} = 2 n (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n} ， T_{n}$ 是 ${c_{n}}$ 的前n项和，求 $T_{n}$ .

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $l_{1}$ 与抛物线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点（ $N$ 在 $M$ 的上方）.

(1)、若 $l_{1}$ 过抛物线 $C$ 的焦点，且垂直于 $x$ 轴时， $| M N | = 2$ ，求此时抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 的斜率 $k \in (\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ ，过点 $M$ 作直线 $l_{1}$ 的垂线 $l_{2}$ 交抛物线 $C$ 于另外一点 $Q$ ，当 $| M N | = 2 | M Q |$ ，且 $△ M N Q$ 的重心落在直线 $y = \frac{3}{4} p$ 上时，求直线 $l_{1}$ 的斜率.

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22. 设函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a l n x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ .
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明： $x_{3} - x_{1} < \frac{a (x_{3} + x_{1} + 2)}{\sqrt{a^{2} + 1}}$ .

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