浙江省温州市2022届高三下学期数学5月三模试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x < 1} ， B = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | x < 1}$ B、 ${x | x \leq 2}$ C、 ${x | 0 \leq x < 1}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$

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2. 已知双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的右焦点和抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点重合，则p的值等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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3. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $2 c m^{3}$ B、 $3 c m^{3}$ C、 $\frac{7}{3} c m^{3}$ D、 $\frac{8}{3} c m^{3}$

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4. $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则“数列 ${a_{n}}$ 为常数列”是“数列 ${S_{n}}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a ， b ， c ， d \in R ， 2^{a} = 3^{b} = l o g_{\frac{1}{2}} c = l o g_{\frac{1}{3}} d = 2$ ，则（）

A、 $a < b ， c < d$ B、 $a < b ， c > d$ C、 $a > b ， c < d$ D、 $a > b ， c > d$

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6. 已知随机变量X，Y的分布列如下：
X
1
0
Y
2
-1
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
则（）

A、 $D (X) = 3 D (Y)$ B、 $D (Y) = 3 D (X)$ C、 $D (X) = 9 D (Y)$ D、 $D (Y) = 9 D (X)$

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7. 已知函数 $y = f (x)$ ， $x \in [- π ， π]$ 的图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{3} s i n 3 x$ B、 $f (x) = c o s x + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{3} c o s 3 x$ C、 $f (x) = s i n 2 x + \frac{1}{2} s i n x + \frac{1}{3} s i n 3 x$ D、 $f (x) = c o s 2 x + \frac{1}{2} c o s x + \frac{1}{3} c o s 3 x$

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8. 如图，在正四面体 $A B C D$ 中，点E，F分别是棱 $B C ， B D$ 上的点（不含端点）， $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ，记二面角 $A - E F - C$ 的大小为 $θ$ ，在点F从点B运动到点D的过程中，下列结论正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{4}$ ，则 $θ$ 先增大后减小 B、若 $λ = \frac{1}{4}$ ，则 $θ$ 先减小后增大 C、若 $λ = \frac{3}{4}$ ，则 $θ$ 先增大后减小 D、若 $λ = \frac{3}{4}$ ，则 $θ$ 先减小后增大

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9. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = - 1 ， | \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | \geq 2$ ，若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b} ， x ， y \in R$ ，则 $x + y$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{7}{4} ， - 1)$ B、 $[- \frac{7}{3} ， - 1)$ C、 $[- \frac{7}{4} ， 0)$ D、 $[- \frac{7}{3} ， 0)$

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10. 设集合 $X = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}} \subseteq N^{*}$ ，定义：集合 $Y = {a_{i} + a_{j} | a_{i} ， a_{j} \in X ， i ， j \in N^{*} ， i \neq j}$ ，集合 $S = {x \cdot y | x ， y \in Y ， x \neq y}$ ，集合 $T = {\frac{x}{y} | x ， y \in Y ， x \neq y}$ ，分别用 $| S |$ ， $| T |$ 表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）

A、 $| S | = 6$ B、 $| S | = 16$ C、 $| T | = 9$ D、 $| T | = 16$

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二、填空题

11. 已知 $A \in R$ ，复数 $z = \frac{a + i}{1 - i}$ （i是虚数单位），若 $z \in R$ ，则 $a =$ ， $| z + i | =$ .

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 2 \\ x - y \leq 0 \\ y \leq 4 \end{array}$ ，表示的可行域的面积等于， $z = | x | + | y |$ 的最大值是.

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13. 设 $(x + 2)^{2} (x + 3)^{3} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} (x + 1)^{2} + a_{3} (x + 1)^{3} + a_{4} (x + 1)^{4} + a_{5} (x + 1)^{5}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ， $a_{5} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称，则 $φ =$ ， $f (x)$ 的图象至少向左平移个单位长度得到 $g (x) = c o s (2 x + φ)$ 的图象.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x + 1} ， x > - 1 \\ - 2 x - 6 ， x \leq - 1 \end{array}$ 若 $f [f (a)] = 0$ ，则实数a的值等于.

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16. 勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有种.（用数字作答）

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17. 如图，椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 和 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1$ 在相同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ， B为椭圆 $C_{1}$ 的上顶点， $F_{2} P ⊥ F_{1} B$ ，且垂足P在椭圆 $C_{2}$ 上，则 $\frac{e_{1}}{e_{2}}$ 的最大值是.

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知 $a = 1 ， b = \sqrt{2}$ .

(1)、若 $∠ B = \frac{π}{4}$ ，求角A的大小；

(2)、求 $c o s A c o s (A + \frac{π}{6})$ 的取值范围.

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19. 如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面 $A B C D$ 是正方形，M是 $C D$ 的中点， $A D = A E = D E = C G = 2 ， B F = 1 ， E M ⊥ B D$ .

(1)、证明：平面 $E M G ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $E M G$ 所成角的正弦值.

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20. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2} ， n \in N^{*}$ .

(1)、证明： $0 < a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} \leq \frac{1}{4}$ ；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $\sqrt{b_{n}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{3}{4}$ .

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21. 如图，已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 和圆 $C ： (x - 4 t)^{2} + (y - 3 t)^{2} = 25 t^{2} (0 < t < \frac{1}{2})$ ，直线 $l ： x = 4 t$ 交圆于上下两点A，B，点P为椭圆的右顶点， $P A ， P B ， P C$ 分别交椭圆于E，F，G，记 $P A ， P B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ .

(1)、求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值；

(2)、记 $△ P F G$ 和 $△ P E G$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，若 $S_{1} = 4 S_{2}$ ，求t的值.

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22. 已知 $t \in R$ ，函数 $f (x) = e^{t x} - e x ， g (x) = l n x - t x + 1$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求t的取值范围；

(2)、若方程 $f (x) = g (x)$ 有两个正实数根 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
（i）求t的取值范围；
（ii）证明： $f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2}) + g^{'} (x_{1}) + g^{'} (x_{2}) > 0$ .（注： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）

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X	1	0		Y	2	-1
P	0.5	0.5		P	0.5	0.5