浙江省绍兴市诸暨市2022届高三下学期数学5月适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数 $z = | 1 - i | + i$ （i为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $\sqrt{2} - i$ D、 $\sqrt{2} + i$

查看试题解析
2. 设集合 $A = {x | | x - 3 | \leq 2} ， B = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $[1 ， 4]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[3 ， 4]$

查看试题解析
3. 若函数 $f (x) = s i n (x + φ) + c o s x$ 的值可以取到2，则常数 $φ$ 可以取（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、 $\frac{3 π}{2}$

查看试题解析
4. 已知随机变量 $ξ$ 服从二项分布且 $ξ \sim B (9 ， p) (0 < p < 1)$ ，则“ $E (ξ) = 3$ ”是“ $D (ξ) = 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $B D_{1}$ 的平面 $α$ 交棱 $A A_{1}$ 于点E，交棱 $C C_{1}$ 于点F，则（）

A、 $\vec{E D_{1}} \cdot \vec{E B} = 0$ B、 $\vec{E F} \cdot \vec{B D_{1}} = 0$ C、 $\vec{E D_{1}} = \vec{B F}$ D、 $| \vec{E F} | = | \vec{B D_{1}} |$

查看试题解析
7. 已知函数的图象如下图1，则如下图2对应的函数有可能是（）

A、 $y = x f (x)$ B、 $y = f (x^{2})$ C、 $y = x^{2} f (x)$ D、 $y = x f (x^{2})$

查看试题解析
8. 已知首项为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q (q \neq 1)$ ，曲线 $C_{n} ： a_{n} x^{2} + a_{n + 1} y^{2} = 1$ ，若曲线 $C_{n}$ 的离心率为e，则（）

A、当 $q \in (- \infty ， - 1)$ 时，e随q的增大而减小 B、当 $q \in (- 1 ， 0)$ 时，e随q的增大而减小 C、当 $q \in (0 ， 1)$ 时，e随q的增大而增大 D、当 $q \in (1 ， + \infty)$ 时，e随q的增大而增大

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = l n x ， g (x) = x$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n} \in [\frac{1}{e} ， e^{2}]$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n - 1}) + g (x_{n}) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + ⋯ + g (x_{n - 1}) + f (x_{n})$ ，其中 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ ，则n的最大值为（注 $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数）（）

A、4 B、5 C、6 D、7

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{3} - a_{n} + 1} ， T_{n} = a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ ，则 $T_{20} \in$ （）

A、 $[\frac{1}{2^{7}} ， \frac{1}{2^{5}}]$ B、 $[\frac{1}{2^{5}} ， \frac{1}{2^{3}}]$ C、 $[\frac{1}{2^{3}} ， \frac{1}{2^{2}}]$ D、 $[\frac{1}{2^{2}} ， \frac{1}{2}]$

查看试题解析

二、填空题

11. 有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为．

查看试题解析
12. 已知正四面体 $A - B C D$ 中，M，N分别为棱 $A B ， A D$ 上的点，且 $A M = B M$ ， $D N = 2 A N$ ，则点M、N在底面 $B C D$ 的射影所在的直线与 $B C$ 所成角的正切值是．

查看试题解析
13. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} ， \vec{d}$ （互不相等）， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{\vec{b}}{| \vec{b} - \vec{a} |} = \frac{\vec{c}}{| \vec{c} - \vec{a} |}$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = (\vec{d} - \vec{b}) \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = 0$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{d} \in [m ， M]$ ，则 $\frac{M}{m} =$ ．

查看试题解析
14. 已知 $l g a + b = 2 ， a^{b} = 10$ ，则 $a =$ ； $b =$ ．

查看试题解析
15. 已知直线 $l_{1} ： y = k x + 1 ， l_{2} ： y = k x + 5$ 均垂直于圆 $x^{2} + (y - b)^{2} = 9$ 的某条直径，且 $l_{1} ， l_{2}$ 三等分该条直径，则 $b =$ ， $k^{2} =$ ．

查看试题解析
16. 在二项式 ${(a x^{3} + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中，若 $a = 1$ 时，则含 $x^{4}$ 的项的系数是；若二项式系数的和与展开式中的常数项相等，则实数 $a =$ ．

查看试题解析
17. 从0，1，2，3，4五个数字中任取四个组成没有重复数字的四位数，且前三位(千百十位)中的偶数个数记为随机变量X，则 $P (X = 3) =$ ， $E (X) =$ ．

查看试题解析

三、解答题

18. 如图，设 $△ A B C$ 的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若 $\frac{s i n A - s i n B}{s i n (A + B)} = \frac{c - b}{a + b}$ ，且 $c o s 2 C + c o s C = 0$ ，点D是 $△ A B C$ 外一点， $D C = \sqrt{3} ， D A = 2$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最大值．

查看试题解析
19. 如图所示的几何体中，四边形 $C D E F$ 为正方形， $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D ， A B = 2 B C ， ∠ A B C = 60 °$ ，平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ A E$ ；

(2)、求 $B C$ 与平面 $A B F E$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
20. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的各项为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} ， \sqrt{4 S_{n} - 1} ， a_{n + 1}$ 构成等比数列．

(1)、求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{a_{n} + 1}{2 b_{n}}$ ，求证： $b_{2 n + 1} C_{2 n}^{n} = 4^{n}$ ．

查看试题解析
21. 如图，点P为抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 与椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 在第一象限的交点，过抛物线焦点F且斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接 $P A$ 交椭圆E于点C，连接 $P B$ 交椭圆E于点D，记直线 $P A ， P B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ．

(1)、求点P的坐标并确定当 $\frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2} + λ}$ 为常数时 $λ$ 的值；

(2)、求 $\frac{| C D |^{2}}{| A B |}$ 取最大值时直线l的方程．

查看试题解析
22. 已知 $f (x) = x e^{2 x} - a l n (1 + x)$ ， $a > 0$ ， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ．

(1)、若 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = - \frac{1}{2} b e^{- 2 x + b + 1} - \sqrt{a} e x^{2} - a x$ ， $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的一个零点， $x_{2}$ 是 $g (x)$ 的一个极值点，若 $x_{1} > 0$ ， $b > 0$ ，证明： $x_{1} + 2 x_{2} < b$ ．

查看试题解析