浙江省绍兴市上虞区2022届高三下学期数学第二次适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x \geq 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x < 10}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 10}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 10}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | x \geq - 1}$

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2. 已知i是虚数单位，则复数 $z = \frac{4}{1 - i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 - s i n θ ， 1) \vec{b} = (\frac{1}{2} ， 1 + s i n θ)$ ，则“ $θ = \pm \frac{π}{4}$ ”是“ $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{(x + m)^{2}}{a^{x} - a^{- x}}$ ，的图象如图所示，则（）

A、 $m < 0 ， 0 < a < 1$ B、 $m < 0 ， a > 1$ C、 $m > 0 ， 0 < a < 1$ D、 $m > 0 ， a > 1$

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5. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 2 \\ y - 1 \leq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x^{2} + y^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{3}$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作直线 $A B$ 交双曲线的右支于A，B两点，连 $F_{1} A$ 和 $F_{1} B$ ，且 $A B ⊥ F_{1} B ， t a n ∠ F_{1} A B = \frac{3}{4}$ ，设双曲线的离心率为e，则 $e =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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8. 某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，猜对每件商品的名称相互独立，猜对三件商品名称D，E，F的概率及猜对时获得相应的奖金如下表所示：
商品
D
E
F
猜对的概率
0.8
0.5
0.3
获得的金额/元
100
200
300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大（）

A、 $F D E$ B、 $F E D$ C、 $D E F$ D、 $E F D$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 2 A D = 2 ， ∠ D A B = 60 °$ ， M，N分别为 $A B ， C D$ 的中点，分别将 $△ A D M$ 和 $△ B C N$ 沿 $D M$ 和 $B N$ 折起，点A和点C折起后分别记为 $A^{'} 、 C^{'}$ ，得到如图几何体 $A^{'} C^{'} - B N D M$ ，则 $A^{'} 、 C^{'}$ 两点间的距离最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{3 π}{4}$ ， $a_{n + 1} + c o s a_{n} - \frac{π}{2} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n + 1} - a_{n} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{π}{4}$ B、 $a_{n + 1} - \frac{1}{2} a_{n}^{2} \geq \frac{π}{2} - 1$ C、 $a_{n + 1} - \frac{2 \sqrt{2}}{π} a_{n} \leq \frac{π}{2} - \sqrt{2}$ D、 $a_{n + 1} - \frac{2}{π} a_{n} \geq \frac{π}{2} - 1$

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二、填空题

11. 已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ ，则圆心C的坐标为，圆C与圆D： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的公共弦所在直线方程为.

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{3})}^{x} - 8 ， x \leq 0 \\ l g x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ ，若 $f (a) > 1$ ，则实数a的取值范围是.

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13. 已知 ${(3 x - 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{3} =$ ， $\frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{10}}{3^{10}} =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角A为最小角且 $t a n A ， t a n B ， t a n C$ 均为整数，则 $c o s A =$ ，设 $B < C$ ， $A B$ 的中点为D，则 $\frac{C D}{C B} =$ .

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15. 若直线 $a x - b y - 3 = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $(1 ， - 1)$ ，则 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 2}$ 的最大值为.

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16. 有甲､乙2位女生和4位男生共6位同学排成一排，甲同学不能站在最左边，4位男生中恰有 $3$ 位相邻的排法有种.

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17. 已知单位向量 $\vec{e}$ ，向量 $\vec{a_{1}} ， \vec{a_{2}}$ 满足方程 $| \vec{e} - \vec{a_{i}} | = \vec{e} \cdot \vec{a_{i}} (i = 1 ， 2)$ ，且 $t \vec{a_{1}} + (1 - t) \vec{a_{2}} = \vec{e}$ ，则 $| \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} |$ 的最小值为.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $φ$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $f (\frac{C}{2} - \frac{π}{12}) = 1$ ， $\sqrt{2} a - b = 1$ ，求c的取值范围.

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19. 如图所示，几何体 $A B C D P Q$ 中， $△ A D P ， △ B C Q$ 均为正三角形，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P Q$ $∥$ 平面 $A B C D$ ， $A P ⊥ C Q ， A B = \sqrt{2}$ ， M，N分别为线段 $P Q$ 与线段 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $M N$ $∥$ 平面 $A D P$ ；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $B C Q$ 所成角的正弦值.

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20. 各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = \frac{1}{2} a_{n}^{2} + \frac{1}{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $b_{1} = a_{2} ， b_{2} = a_{4}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ､ ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{(3 n - 2) \cdot b_{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 2}} ， n 为奇数 \\ \frac{3}{b_{n}} ， n 为偶数 \end{array}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前n项和，对任意的 $n \in N^{*}$ . $T_{2 n} \geq λ$ 恒成立，求 $T_{2 n}$ 及实数的 $λ$ 取值范围.

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21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 及抛物线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、如图，过 $M (- m ， 0) (m \geq 1)$ 作直线l交抛物线 $C_{2}$ 于P，Q两点（P在Q的左侧），点Q关于x轴的对称点为 $Q_{1}$ ，求证直线 $P Q_{1}$ 过定点N；并求当l的倾斜角为 $30 °$ 时，点M到直线 $P Q_{1}$ 距离d的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x - (a + 1)$ ， $g (x) = x^{2} + (a - 1) x - (a + 2)$ （其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）

(1)、试讨论函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $a > 1$ 时，设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的两个极值点为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} < 4 a + 2$ .

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商品	D	E	F
猜对的概率	0.8	0.5	0.3
获得的金额/元	100	200	300