浙江省9 1联盟2022届高三下学期数学5月模拟试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = a + i$ （其中 $a$ 为实数， $i$ 为虚数单位）.若 $z \in R$ ，则实数 $a =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 已知平面 $α$ ， $β$ 和直线 $m$ ，且 $m \subset α$ ，则“ $α / / β$ ”是“ $m / / β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $16 \sqrt{3}$ D、 $\frac{40 \sqrt{3}}{3}$

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5. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} y \leq 2 \\ x + y \geq 4 \\ x - y \leq 1 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 已知函数 $f (x) = 2^{x} ， g (x) = s i n x$ ，则图像为下列图示的函数可能是（）

A、 $y = [f (x) + f (- x)] \cdot g (x)$ B、 $y = \frac{g (x)}{f (x) + f (- x)}$ C、 $y = [f (x) - f (- x)] \cdot g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x) - f (- x)}$

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7. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点A，B分别是定直线 $y = k x$ 和 $y = - k x (k > 0)$ 上的动点，若 $△ A O B$ 的面积为定值S，则线段 $A B$ 的中点的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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8. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\frac{s i n α}{s i n β} = s i n (α + β)$ ，则 $t a n α$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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9. 已知点M是棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B C$ 的中点.过直线 $M D_{1}$ 作平面 $α$ ，记平面 $α$ 与棱 $A A_{1}$ 的交点为K，当平面 $α$ 与底面 $A B C D$ 所成的锐二面角最小时， $A K =$ （）

A、3 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、1

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ，且 $a_{n + 1} = l n (a_{n} + 1) - s i n a_{n}$ ，则下列关于数列 ${a_{n}}$ 的叙述正确的是（）

A、 $a_{n} > a_{n + 1}$ B、 $- \frac{1}{2} \leq a_{n} < - \frac{1}{4}$ C、 $a_{n + 1} \geq - \frac{a_{n}^{2}}{a_{n} + 2}$ D、 $a_{n} \leq - \frac{2}{4^{2^{n - 1}}}$

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二、填空题

11. 已知 $s i n θ = \frac{1}{3} (\frac{π}{2} < θ < π)$ ，则 $t a n θ =$ ； $c o s 2 θ =$ .

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12. 若 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的二项展开式中各项的二项式系数和为64，则 $n =$ ；展开式中常数项为.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 重，点D是线段 $B C$ 上靠近点C的三等分点.若 $A B = 9$ ， $A C = 3$ ， $A D = \sqrt{19}$ ，则 $∠ A =$ ； $B C =$ .

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14. 林锋家所在小区原本是开放式小区，停车难问题一直困扰着该小区居民.今年当地政府积极进行老小区改造，通过竭力协调将闲置的空间改造成了绿色车位，受到居民的广泛称赞，如今林锋家楼下原本堆满废墟的地方已经改造成了7个绿色车位.某天中午林锋家来了四位客人，这四位客人各自驾驶一辆车，其中三辆黑色，一辆白色.此时这7个车位恰好均未使用，于是这四辆车随机规范停入这7个车位.则恰好三辆黑色车相邻停放的概率为；记剩余的3个空车位中相邻的车位数最大者为 $ξ$ （若3个空车位均相邻则 $ξ = 3$ ，若3个空车位有且仅有两个相邻则 $ξ = 2$ ，若3个空车位均不相邻则 $ξ = 1$ ），则 $ξ$ 的数学期望为.

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x \geq 3 \\ f (x + 1) ， x < 3 \end{array}$ ，则 $f (l o g_{2} 3) =$ .

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16. 如图，已知点A，B是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上关于原点对称的两点.过点A作垂直于 $A B$ 的直线交椭圆C于另一点D，直线 $B D$ 交x轴于点E.若 $A E ⊥ x$ 轴，则椭圆C的离心率为.

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17. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = 3$ ，若 $\overset{⇀}{c} = (2 - 2 λ) \overset{⇀}{a} + 3 λ \vec{b} (λ \in R)$ ，且 $\frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{| \vec{a} |} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |}$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a} ， 3 \vec{a} - \vec{c} ⟩$ 的最小值为.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4}) c o s (x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $g (x) = f (x) + f (x + \frac{π}{4})$ 的取值范围.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = B C = 2$ ， $∠ A A_{1} B = 60 °$ ， $A_{1} C = 3$ .点M，N分别为线段 $A_{1} A ， B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A B ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、求直线 $M N$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2} ， a_{3} + 2 ， a_{4}$ 成等差数列.数列 ${b_{n}}$ 满足： $\frac{b_{1}}{\sqrt{1}} + \frac{b_{2}}{\sqrt{2}} + \frac{b_{3}}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{b_{n}}{\sqrt{n}} = \frac{n^{2} + n}{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{a_{1}}{a_{1} \cdot b_{1} - 1} + \frac{a_{2}}{a_{2} \cdot b_{2} - 1} + \frac{a_{3}}{a_{3} \cdot b_{3} - 1} + \dots + \frac{a_{n}}{a_{n} \cdot b_{n} - 1} < 6 - \frac{4}{\sqrt{n}} (n \in N^{*})$ .

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21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，且过点 $P (- 1 ， \frac{3}{2})$ .点P到抛物线 $C_{2} ： y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 的准线的距离为 $\frac{3}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、如图过抛物线 $C_{2}$ 的焦点F作斜率为 $k (k > 0)$ 的直线交抛物线 $C_{2}$ 于A，B两点（点A在x轴下方），直线 $P F$ 交椭圆 $C_{1}$ 于另一点Q.记 $△ F B Q$ ， $△ A P Q$ 的面积分别记为 $S_{1} 、 S_{2}$ ，当 $P F$ 恰好平分 $∠ A P B$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - \frac{\sqrt{e}}{2} x (a \in R)$ .

(1)、若函数 $g (x) = f (x) + (\frac{\sqrt{e}}{2} - 1) x$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数a的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： $(x_{1} - \frac{\sqrt{e}}{4 a} + 1) (x_{2} - \frac{\sqrt{e}}{4 a} + 1) > 4$ .

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