新疆维吾尔自治区2022届高三下学期理数第三次适应性检测试卷

试卷更新日期：2022-05-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x ⟨ - 1 或 x ⟩ 4}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x \leq 4}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | 3 \leq x \leq 4}$ D、 ${x | x \leq 3 或 x \geq 4}$

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2. 若复数z满足 $z \cdot \bar{z} + 2 z = 1 + 2 \sqrt{2} i$ .则z等于（）

A、 $- 1 + \sqrt{2} i$ B、 $- 1 - \sqrt{2} i$ C、 $1 + \sqrt{2} i$ D、 $1 - \sqrt{2} i$

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3. 下列命题正确的是（）

A、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 2$ ”的否命题为“ $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x \neq 2$ ” B、若给定命题p： $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x - 1 < 0$ ，则 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x - 1 > 0$ C、若 $p \land q$ 为假命题，则p，q都为假命题 D、“ $x < 1$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ”的充分不必要条件

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4. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 为正三角形，若 $A B ： B B_{1} = 1 ： \sqrt{2}$ ，则直线 $A B_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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5. 如图 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，为某次考试三个评卷人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分.当 $x_{1} = 7$ ， $x_{2} = 10$ ， $P = 7.5$ 时， $x_{3}$ 等于（）

A、10 B、5 C、8 D、5

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6. 过点 $P (- 1 ， - \sqrt{3})$ 的直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{6}]$ B、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ C、 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ D、 $[0 ， \frac{5 π}{6}]$

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7. 中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观，宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓汉字本身且有丰富的音象利可朝的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆､隶､楷､行､草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为（）

A、60 B、90 C、120 D、150

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8. 如图在△ABC中， $∠ A B C = 90 °$ ， F为AB中点， $C E = 2$ ， $C B = 4$ ， $A B = 6$ ，则 $\vec{E A} \cdot \vec{E B} =$ （）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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9. 点P是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线C的左，右焦点，M为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，若双曲线C的离心率 $e = \frac{3}{2}$ ，且 $S_{△ M P F_{1}} = S_{△ M P F_{2}} + λ S_{△ M F_{1} F_{2}}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 是以1为首项，3为公差的等差数列， ${b_{n}}$ 是以1为首项，3为公比的等比数列，设 $c_{n} = a_{b_{n}}$ ， $T_{n} = c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n} (n \in N^{*})$ ，当 $T_{n} < 2021$ 时，n的最大值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线 $y = l n (x - 1)$ 与直线 $x = e + 1$ ， $y = 0$ 所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了15个在区间 $[2 ， e + 1]$ 上的均匀随机数 $x_{i}$ 和15个在区间 $[0 ， 1]$ 上的均匀随机数 $y_{i}$ ，构成数对 $(x_{i} ， y_{i}) (i \in N^{*} ， 1 ≤ i ≤ 15)$ ，其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）
$x$
3.50
2.01
2.90
2.22
3.52
2.61
3.17
2.71
2.89
2.96
2.96
3.15
2.36
3.22
3.65
$y$
0.84
0.25
0.98
0.15
0.01
0.37
0.60
0.65
0.59
0.57
0.88
0.69
0.84
0.10
0.88
$l n (x - 1)$
0.92
0.01
0.64
0.20
0.92
0.48
0.77
0.54
0.64
0.67
0.67
0.77
0.31
0.80
0.97

A、 $\frac{3}{5} (e - 1)$ B、 $\frac{2}{3} (e - 1)$ C、 $\frac{3}{5} (e + 1)$ D、 $\frac{8}{15} (e - 1)$

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12. 若函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极值10，则 $a - b =$ （）

A、6 B、-15 C、-6或15 D、6或-15

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二、填空题

13. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n} + a_{n + 2} = 1$ ，则 $S_{19} =$ .

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14. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + 2 ， x \leq 0 \\ x - 3 + e^{x} ， x > 0 \end{array}$ 的零点个数为.

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15. 已知点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ 、 $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 是函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 图像上的任意两点，且角 $φ$ 的终边经过点 $P (\sqrt{3} ， 1)$ ，若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2 \sqrt{2}$ ， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ .

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16. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，它的所有棱长都为2，则该半正多面体外接球的表面积为；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边的长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\sqrt{3} a = \sqrt{3} c c o s B + b s i n C$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 1$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， D， $D_{1}$ 分别是BC， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A G = \frac{2}{3} A D$ ，过点G作 $E F ∥ B C$ ，分别交AB，AC于点E，F.

(1)、证明 $A_{1} G ⊥ E F$ ；

(2)、若二面角 $A - A_{1} E - F$ 的大小是 $\frac{π}{3}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

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19. 2021年教育部印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生完成书面作业的平均时长不超过90分钟，某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，为教育决策提供依据，该市教研部门就当前全市初二学生每天完成书而作业时长进行抽样调查，结果是完成书面作业时长（单位：分钟）都在区间 $[50 ， 100]$ 内，完成书面作业时长的频率分布直方图如右：

(1)、求被调查学生完成书面作业时长的中位数和平均数；

(2)、调查统计时约定：完成书面作业时长在区间 $[90 ， 100]$ 内的为A层次学生，在区间 $[80 ， 90)$ 内的为B层次学生，在区间 $[70 ， 80)$ 内的为C层次学生，在其它区间内的为D层次学生，现对完成书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初二学生，按时长出现的频率，用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X个层次，求随机变量X的分布列及数学期望.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，以椭圆C的右顶点A为圆心，作半径为r的圆 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，设圆A与椭圆C交于点E，F.

(1)、求 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值，并求此时圆A的方程；

(2)、设点O是坐标原点，点P是椭圆C上异于E，F的点，且满足直线PE，PF分别与x轴交于M，N两点，证明： $| O M | \cdot | O N |$ 为定值.

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21. 已知 $f (x) = e^{x} + l n x - x$ ， $g (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $F (x) = a f (x) - g (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，求证： $F (x_{1}) + F (x_{2}) < - 2$ .

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22. 在平面直角坐标系xOy中有一点 $P (2 ， 0)$ ，圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ 点 $Q (x_{0} ， y_{0}) (y_{0} ≥ 0)$ 为C上的动点，M为PQ的中点.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求点M的轨迹 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、设点N的直角坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，若直线l经过点N且与曲线 $C_{1}$ 交于点E，F，弦EF的中点为D，求 $\frac{| N D |}{| N E | \cdot | N F |}$ 的最大值.

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23. 已知 $f (x) = | 3 x - 3 | + | x + 1 |$ .

(1)、设 $f (x)$ 的最小值为m，求m的值：

(2)、若a， $b > 0$ 且 $a + b = m$ ，求证： $\frac{a^{3} + 2 b}{a + 2} + \frac{b^{3} + 2 a}{b + 2} ≥ 2$ .

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$x$	3.50	2.01	2.90	2.22	3.52	2.61	3.17	2.71	2.89	2.96	2.96	3.15	2.36	3.22	3.65
$y$	0.84	0.25	0.98	0.15	0.01	0.37	0.60	0.65	0.59	0.57	0.88	0.69	0.84	0.10	0.88
$l n (x - 1)$	0.92	0.01	0.64	0.20	0.92	0.48	0.77	0.54	0.64	0.67	0.67	0.77	0.31	0.80	0.97