广东省梅州市大埔县2021-2022学年九年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-05-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. ${(- 2)}^{0}$ 的值是（）

A、－2 B、－1 C、0 D、1

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2. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2022年2月4日，冬奥会开幕式在全国44个卫星频道播出，总收视率20.1%，电视直播观众31600000人．将“31600000”用科学记数法表示为（）

A、 $0.316 \times 1 0^{10}$ B、 $3.16 \times 1 0^{9}$ C、 $3.16 \times 1 0^{8}$ D、 $3.16 \times 1 0^{7}$

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4. 为更好地学习贯彻“2022年全国两会”精神，牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程．某校举办了“2022年全国两会”知识竞赛，某班参赛的6名同学的成绩（单位：分）分别为：86，83，87，83，84，93，则这组数据的中位数是（）

A、84 B、85 C、86 D、87

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 ${(a b)}^{3} = a b^{3}$ D、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$

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6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）

A、五丈 B、四丈五尺 C、一丈 D、五尺

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7. 已知 $△ A B C$ 的面积为16，点D，E分别为AB，AC边上的中点，则四边形DBCE的面积为（）

A、12 B、10 C、9 D、8

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8. 若 $\sqrt{a + 6} + | b - \sqrt{5} | = 0$ ，则 $| a + b^{2} | =$ （）

A、11 B、1 C、－1 D、－11

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9. 如图，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AD边E上，将 $△ B A E$ 沿BE折叠，使点A的对应点F落在直线MN上，若 $A B = 4$ ，则BE的长是（）

A、5 B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，在Rt $△ A B C$ 和Rt $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $A C = A D = 3$ ， AB=AE=5．连接BD，CE，将△ $A D E$ 绕点A旋转一周，在旋转的过程中当 $∠ D B A$ 最大时，△ACE的面积为（）．

A、6 B、 $6 \sqrt{2}$ C、9 D、 $9 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{2} - 2 a$ ＝．

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12. 在函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ 中，自变量x的取值范围是．

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13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是.

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14. 写出一个开口向下，对称轴为直线 $x = 2$ 的抛物线的解析式．

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15. 如图， $△ O A B$ 与 $△ O D C$ 是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2， $∠ O C D = 90 °$ ， $C O = C D$ ．若 $A (1 ， 0)$ ，则点C的坐标为．

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16. 如图，从一块直径是 $1 m$ 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为m．

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17. 已知关于x的函数 $y_{1} = a x^{2} - (3 - a) x + 1$ ， $y_{2} = a x$ ，若对于任意实数x， $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的值至少有一个为正数．则实数a的取值范围是．

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三、解答题

18. 解方程： $\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x}$

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上， $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ E F C$ ；

(2)、设 $\frac{A E}{E C} = \frac{2}{5}$ ， $E F = 15$ ，求线段AB的长．

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20. 小王同学在超市进行随机抽样调查，了解人们平时喜欢用哪种方式付款，下图是根据调查结果整理出来的统计图，请据此信息完成下列问题：

(1)、若当天该超市客流量为1.5万人，请你估计这一天使用微信支付的人数有多少人；

(2)、现场调查也发现：甲、乙两人都习惯使用支付宝、微信、现金三种支付方式，并且他们选择这三种支付方式的可能性是相同的，请你利用列表或树状图计算出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、尺规作图：以AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，OD（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、求证： $O D ⊥ B E$ ．

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22. 小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示14天内爸爸去过深圳、广州、湛江．已知广州到深圳的路程比广州到湛江的路程少280公里，小明的爸爸驾车从深圳到广州的平均速度是70千米/小时，从广州到湛江的平均速度是60千米/小时，从广州到湛江的时间比从深圳到广州的时间多5小时．

(1)、求广州到深圳的路程；

(2)、从广州到湛江时，若小明的爸爸要至少提前2小时到家．则驾车的平均速度应满足什么条件？

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23. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x - 3$ 的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数解析式为 $y = k x - 3$ ．已知 $s i n ∠ O B C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求二次函数的函数解析式和直线DC的函数解析式；

(2)、连接BD，求 $△ B C D$ 的面积．

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24. 如图

(1)、问题探究：如图，已知正方形ABCD中．点E是BC边上一动点，将 $△ A B E$ 沿着AE对折后，点B落在点F处，延长EF交CD于点G．求证： $E G = B E + D G$ ；

(2)、问题解决：在（1）的条件下， $\frac{C E \cdot C G}{B E \cdot D G}$ 的值是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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25. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ． $∠ A = ∠ B = 90 °$ ． $A D = 16$ ， $A B = 6$ ， $B C = 24$ ．点P从点A沿AD运动到点D，每秒移动a个单位，同时点Q从点C沿CB运动到点B．每秒移动b个单位．运动时间为x秒．若其中一点到达终点，另一点也停止．

(1)、请求出CD的值；

(2)、若存在某时刻使DQ垂直平分PC，求a∶b的值；

(3)、若 $a = 1$ ， $b = 3$ ，何时PQ上存在点M，使得 $∠ A M B = 90 °$ ．

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