广东省汕头市澄海区2022年初中学业水平模拟考试数学试题

试卷更新日期：2022-05-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 1^{2022}$ 的相反数是（）

A、2022 B、－2022 C、1 D、－1

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2. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（）

A、 $0.3 \times 10^{6}$ B、 $3 \times 10^{7}$ C、 $3 \times 10^{6}$ D、 $\frac{10 n}{n + 1}$

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3. 一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，它们除了颜色外都相同．将球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球．两次摸到的球颜色相同的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{13}{25}$ C、 $\frac{8}{25}$ D、 $\frac{13}{20}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} + 2 x^{2} = 3 x^{4}$ B、 $(x^{3})^{4} = x^{7}$ C、 $(2 x + y) (2 x - y) = 2 x^{2} - y^{2}$ D、 $x \div x^{3} = x^{- 2}$

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5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的值可以是（）

A、0 B、1 C、2 D、－2

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6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在坐标轴上，若点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(0 ， 2)$ 、 $(- 1 ， 0)$ ，则点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{5} ， 2)$ B、 $(2 ， \sqrt{5})$ C、 $(\sqrt{3} ， 2)$ D、 $(2 ， \sqrt{3})$

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7. 如图， $△ A B C$ 为钝角三角形，将 $△ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转 $12 0^{∘}$ 得到 $△ A B' C'$ ，连接 $B B'$ ，若 $A C' / / B B'$ ，则 $∠ C A B'$ 的度数为 $($ $)$

A、 $4 5^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $7 0^{∘}$ D、 $9 0^{∘}$

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8. 文具店销售某种书袋，每个12元，王老师计划去购买这种书袋若干个．结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，总价钱会便宜24元”．王老师说：“那就多买一个吧，谢谢！”根据两人的对话可求得王老师原计划要购买书袋（）个

A、28 B、29 C、30 D、31

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9. 如图，已知 $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径，半径 $O A ⊥ B C$ ，点 $D$ 在劣弧 $A C$ 上（不与点 $A$ 、 $C$ 重合）， $B D$ 与 $O A$ 交于点 $E$ ．设 $∠ A E D = α$ ， $∠ A O D = β$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $3 α + β = 180 °$ B、 $2 α + β = 180 °$ C、 $3 α - β = 90 °$ D、 $2 α - β = 90 °$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论：① $2 a + b = 0$ ；②关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $- 1 < x < 2$ ；③ $4 a + 2 b + c < 0$ ；④ $8 a + c < 0$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 分解因式：25﹣x²＝.

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12. 若 $| a + 2 | + \sqrt{b - 3} = 0$ ，则 $b^{a} =$ ．

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13. 计算 $\frac{a^{2} - 2 a}{a} - a =$ ．

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14. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若 $A B$ ， $A C$ 的长都为 $2.5 m$ ，当 $α = 55 °$ 时，人字梯顶端离地面的高度 $A D$ 为 $m$ ．（参考数据： $s i n 55 ° \approx 0.82$ ， $c o s 55 ° \approx 0.57$ ， $t a n 55 ° \approx 1.4$ ）

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15. 如图，点 $P$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $Q$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象上，若 $P Q ∥ x$ 轴，则 $△ O P Q$ 的面积为．

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16. 如图所示，由8个有公共顶点O的等腰直角三角形拼成的图形，∠AOB=∠BOC=⋅⋅⋅=∠MON=45°．若OA=64，则ON的长为．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $P$ 在 $A C$ 边上．将 $∠ A$ 沿直线 $B P$ 翻折，点 $A$ 落在点 $A'$ 处，连接 $A' B$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ．若 $A' P ⊥ A P$ ， $t a n A = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{A' P}{B P}$ 的值为．

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三、解答题

18. 计算： $| \sqrt{2} - \sqrt{3} | - (\frac{1}{2})^{- 1} - 3 t a n 30 ° + \sqrt{8}$ ．

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 - \frac{1}{2} x \geq 0 \\ 3 x + 7 > - 2 \end{array}$ ．

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20. 人们对网购的热衷促进了快递行业的发展，某快递站点为提高投递效率，给快递员配备了电动车，结果平均每人每天比原来多投递60件．若快递站点的快递员人数不变，站点投递快件的能力由每天400件提高到640件．求现在平均每人每天投递快件多少件？

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点，点 $M$ 在 $B A$ 的延长线上．

(1)、作 $∠ M A C$ 的平分线 $A N$ ，连接 $B O$ ，并延长 $B O$ 交 $A N$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ （用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，判断四边形 $A B C D$ 的形状，并证明你的结论．

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22. 我市某学校为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开设了“烹饪、园艺、电工、木工、缝纫”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
劳动课程
烹饪
园艺
电工
木工
缝纫
人数
10
12
a
9
15

(1)、 $a =$ ， $b =$ ，扇形统计图中“烹饪”所对应扇形的圆心角 $α =$ ；

(2)、若该校七年级共有600名学生，请估计该校七年级学生选择“园艺”劳动课程的人数；

(3)、七（1）班计划在“烹饪、园艺、电工、缝纫”四大类劳动课程中任选两类参加学校展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的概率．

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23. 如图，直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相离，过点 $O$ 作 $O A ⊥ l$ 于点 $A$ ，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，延长 $A O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．点 $C$ 、 $P$ 在直线 $l$ 上，连接 $C B$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $D P$ ， $∠ P C D = ∠ P D C$ ．

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = 2$ ， $A B = 4$ ， $P D = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径 $r$ 和弦 $B D$ 的长．

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24. 如图，已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $A D$ ， $B C$ 上，沿着 $M N$ 折叠矩形 $A B C D$ ，使点 $A$ ， $B$ 分别落在 $E$ ， $F$ 处，且点 $F$ 在线段 $C D$ 上（不与两端点重合），过点 $M$ 作 $M H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $△ M H N ∽ △ B C F$ ；

(2)、若 $H N = \frac{3}{2}$ ，求 $D F$ 的长；

(3)、若 $D F = \frac{1}{2} C F$ ，求折叠后重叠部分的面积．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，点 $C$ 坐标为 $(0 ， 3)$ ，对称轴为 $x = 1$ ．点 $M$ 为线段 $O B$ 上的一个动点（不与两端点重合），过点 $M$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $P$ ，交 $B C$ 于点 $Q$ ．

(1)、求抛物线及直线 $B C$ 的表达式；

(2)、过点 $P$ 作 $P N ⊥ B C$ ，垂足为点 $N$ ．求线段 $P N$ 的最大值；

(3)、试探究点 $M$ 在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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劳动课程	烹饪	园艺	电工	木工	缝纫
人数	10	12	a	9	15