广东省汕头市潮南区2022年中考模拟考试数学试题

试卷更新日期：2022-05-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数0，-π， $\sqrt{2}$ ， -4中，最小的数是（）

A、0 B、-π C、 $\sqrt{2}$ D、-4

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2. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$ D、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$

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4. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置若∠1=60°，则∠2的度数为（）

A、60° B、45° C、50° D、30°

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5. 若a，b满足 $\sqrt{4 a^{2} + 4 a b + b^{2}} + | a - 1 | = 0$ ，则 $a - 2 b =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 关于x的一元二次方程 $(a + 2) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有实数根，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq \frac{1}{4}$ 或 $a \neq - 2$ B、 $a \leq \frac{1}{4}$ C、 $a < \frac{1}{4}$ 或 $a \neq - 2$ D、 $a < \frac{1}{4}$

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7. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(　　)

A、12.5° B、15° C、20° D、22.5°

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8. 如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，四边形ABCD为正方形， $∠ C A B$ 的平分线交BC于点E，将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转90°得到 $△ C B F$ ，延长AE交CF于点G，连接BG，DG与AC相交于点H．有下列结论：① $B E = B F$ ；② $∠ A C F = ∠ F$ ；③ $B G ⊥ D G$ ；④ $\frac{A E}{D H} = \sqrt{2}$ ，其中正确的结论有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. “分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简 $\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ ，可以先设 $x = \sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ ，再两边平方得 $x^{2} = (\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}})^{2} = 4 + \sqrt{7} + 4 - \sqrt{7} - 2 \sqrt{(4 + \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})} = 2$ ，又因为 $\sqrt{4 + \sqrt{7}} ＞ \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ ，故x＞0，解得 $x = \sqrt{2}$ ， $\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}} = \sqrt{2}$ ，根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} + \sqrt{8 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}$ 的结果是（）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、3

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二、填空题

11. 新型冠状病毒也叫2019-nCOV，该病毒比细胞小得多，大小约为 $150 n m$ （纳米），即为0.00000015米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据0.00000015米用科学记数法表示为米．

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12. 因式分解： $x^{2} y - 25 y =$ ．

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13. 若 $3 x + 2 y - 3 = 0$ ，则 $8^{x} \cdot 4^{y}$ 等于．

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14. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是 $(- 10 ， 8)$ ，点D在AC上，将 $△ B C D$ 沿BD翻折，点C恰好落在OA边上的点E处，则 $t a n ∠ D B E$ 等于．

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15. 如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是.

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16. 请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为 $\sqrt{10} - 1$ 的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是．（任意写一个符合条件的即可）．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 20$ ， $A C = 16$ ， $B C = 12$ ，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是．

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三、解答题

18. 求不等式组 ${\begin{array}{l} 4 x - 1 > 3 x - 4 \\ - \frac{1}{3} x \leq \frac{2}{3} - x \end{array}$ 的整数解．

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19. 为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动．该校随机抽取部分学生，四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息．解决下列问题：

(1)、此次共调查了名学生；

(2)、扇形统计图中．B类所对应的扇形圆心角的大小为度；

(3)、请通过计算补全条形统计图；

(4)、该校共有1560名学生．估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有多少人？

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20. 如图，已知 $△ A B C$ ， $∠ C =$ 90°．

(1)、请用尺规作图，在BC边上找一点D，使 $D A = D B$ ；(不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，若 $B C = 8$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ，求CD的值．

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21. 如图，在四边形ABCD中， $∠ B C D =$ 90°，对角线AC，BD相交于点N．点M是对角线BD的中点，连接AM，CM．如果 $A M = D C$ ， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B = A C$ ．

(1)、求证：四边形AMCD是平行四边形；

(2)、延长AM交BC于点E，求 $\frac{M E}{B E}$ 的值．

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22. 4月23日为“世界读书日”．每年的这一天，各地都会举办各种宣传活动．我市某书店为迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：
“读书节”活动计划书
图书类别
A类
B类
进价
18元/本
12元/本
备注
⑴用不超过16800元购进AB两类图书共1000本；
⑵A类图书不少于600本；

(1)、陈经理查看计划书时发现：A类图书的销售价是B类图书销售价的1.5倍，若顾客同样用54元购买图书，能购买A类图书数量比B类图书的数量少1本，求A、B两类图书的销售价；

(2)、为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书每本按原销售价降低2元销售，B类图书价格不变，那么该书店应如何进货才能获得最大利润？

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23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为 $(4 ， 2)$ ， OA，OC分别在x轴、y轴上，OB是矩形的对角线．将 $△ O A B$ 绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到 $△ O D E$ ， OD与CB相交于点F，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点F，交AB于点G．

(1)、填空：k的值为；

(2)、连接FG，求证： $△ O A B ∽ △ F B G$ ；

(3)、在线段OA上找一点P，使得 $△ P F G$ 是等腰三角形，请直接写出此时OP的长．

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24. 如图，AB是 $⊙$ O的直径，C、D是 $⊙$ O上两点，且 $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{C D}$ ，过点D的直线 $D E ⊥ A C$ 交
AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．

(1)、求证：DE是 $⊙$ O的切线；

(2)、若 $\frac{D G}{A G} = \frac{2}{3}$ ， $⊙$ O的半径为2，求阴影部分的面积：

(3)、连接BE，在（2）的条件下，求BE的长．

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25. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为 $y = x - 4$ ；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 且满足 $x_{1} + x_{2} = 3$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时， $△ Q O B$ 的周长最小？求出此时点Q的坐标及 $△ Q O B$ 周长的最小值；

(3)、如图2，P是线段CB上的一点，过点P作直线 $P F ⊥ x$ 轴于F，交抛物线于G，且 $P F = P G$ ；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，直接写出所有满足条件的Q点坐标．

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“读书节”活动计划书
图书类别	A类	B类
进价	18元/本	12元/本
备注	⑴用不超过16800元购进AB两类图书共1000本； ⑵A类图书不少于600本；