北京市东城区2022年中考一模数学试题

试卷更新日期：2022-05-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为（）

A、 $114 \times 1 0^{4}$ B、 $11.4 \times 1 0^{5}$ C、 $1.14 \times 1 0^{6}$ D、 $1.14 \times 1 0^{5}$

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3. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.若∠2＝40°，则∠1的度数是（）

A、60° B、50° C、40° D、30°

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4. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”．将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 五边形的内角和是（）

A、 $360 °$ B、 $540 °$ C、 $720 °$ D、 $1080 °$

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6. 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $- a < b$ C、 $| a | < | b |$ D、 $a + b < 0$

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7. 某班甲、乙、丙三位同学5次数学成绩及班级平均分的折线统计图如下，则下列判断错误的是（）

A、甲的数学成绩高于班级平均分 B、乙的数学成绩在班级平均分附近波动 C、丙的数学成绩逐次提高 D、甲、乙、丙三人中，甲的数学成绩最不稳定

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8. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度 $h (c m)$ 与注水时间 $t (s)$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 若 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

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10. 分解因式： $2 x^{2} - 2 y^{2}$ = .

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11. 方程 $\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x}$ 的解是．

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12. 请写出一个大于1且小于2的无理数：.

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13. 北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大家的喜爱．即将在2022年9月举行的杭州亚运会的吉祥物“宸宸”“踪踪”“莲莲”也引起了大家的关注．现将五张正面分别印有以上5个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上并洗匀，随机翻开一张正好是“冰墩墩”的概率是．

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14. 如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为．

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15. 已知 $x^{2} - x = 3$ ，则代数式 $(x + 1) (x - 1) + x (x - 2) =$ ．

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16. 我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为尺，立夏的晷长为尺．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{12} + 2 s i n 60 ° - 202 2^{0} - | - \sqrt{3} |$ ．

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 3}{2} < 1 ， \\ 2 (x + 1) \geq x - 1 \end{array}$ ．

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19. 已知：线段AB．
求作： $R t △ A B C$ ，使得 $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取 $D C = B D$ ；
③连接AC．
则 $△ A B C$ 为所求作的三角形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵ $A B = A D = B D$ ，
∴ $△ A B D$ 为等边三角形（）．（填推理的依据）
∴ $∠ B = ∠ A D B = 60 °$ ．
∵ $C D = B D$ ，
∴ $A D = C D$ ．
∴ $∠ D A C =$ ▲ （）．（填推理的依据）
∴ $∠ A D B = ∠ C + ∠ D A C = 60 °$ ．
∴ $∠ C = 30 °$ ．
在 $△ A B C$ 中，
∴ $∠ B A C = 180 ° - (∠ B + ∠ C) = 90 °$ ．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = x - 2$ 的图象与x轴交于点A，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $B (3 ， m)$ ，点P为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上一点．

(1)、求m，k的值；

(2)、连接OP，AP．当 $S_{△ O A P} = 2$ 时，求点P的坐标．

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22. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且 $A O = C O$ ，点E在BD上， $∠ E A O = ∠ D C O$ ．

(1)、求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)、若 $A B = B C$ ， $C D = 5$ ， $A C = 8$ ， $t a n ∠ A B D = \frac{2}{3}$ ，求BE的长．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以AB为直径作 $⊙ O$ ，交BC于点D，交AC于点E，过点B作 $⊙ O$ 的切线交OD的延长线于点F．

(1)、求证： $∠ A = ∠ B O F$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $D F = 1$ ，求AE的长．

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24. 2022年是中国共产主义青年团建团100周年．某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生的成绩整理如下（单位：分）：
57 67 69 75 75 75 77 77 78 78 80 80 80 80 86 86 88 88 89 96
b．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成四组： $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ）：
其中成绩在 $80 \leq x < 90$ 的数据如下（单位：分）：
80 80 81 82 83 84 85 86 87 89
c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
79.05
79
m
八年级
79.2
n
74
根据所给信息，解答下列问题：

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、估计年级学生的成绩高于平均分的人数更多；

(3)、若成绩达到80分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数．

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25. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：

(1)、经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
在d和h这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数；

(2)、在下面的平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出（1）中所确定的函数的图象；

(3)、结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且 $C E = D F$ ，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为米．（精确到0.1米）

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + 1$ 与y轴交于点A．点 $B (x_{1} ， y_{1})$ 是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 经过A，B两点．

(1)、求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；

(2)、若点 $C (m - 2 ， a)$ ， $D (m + 2 ， b)$ 在抛物线上，则a b（用“<”，“=”或“>”填空）；

(3)、若对于 $x_{1} < - 3$ 时，总有 $k < 0$ ，求m的取值范围．

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27. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（ $A E > C E$ ），连接BE，DE．

(1)、求证： $B E = D E$ ；

(2)、过点E作 $E F ⊥ A C$ 交BC于点F，延长BC至点G，使得 $C G = B F$ ，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．

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28. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，且 $∠ A B C = 90 °$ ，则称点C为图形G的“友好点”．

(1)、已知点 $O (0 ， 0)$ ， $M (4 ， 0)$ ，在点 $C_{1} (0 ， 4)$ ， $C_{2} (1 ， 4)$ ， $C_{3} (2 ， - 1)$ 中，线段OM的“友好点”是；

(2)、直线 $y = - x + b$ 分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点 $C (2 ， 1)$ 为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；

(3)、已知直线 $y = x + d (d > 0)$ 分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的 $⊙ O$ 的“友好点”，直接写出d的取值范围．

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年级	平均数	中位数	众数
七年级	79.05	79	m
八年级	79.2	n	74

d/米	0	0.6	1	1.8	2.4	3	3.6	4
h/米	0.88	1.90	2.38	2.86	2.80	2.38	1.60	0.88