浙江省北斗联盟2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = - 2 + i$ ，则在复平面内 $z_{1} + z_{2}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $B = {x \in R | 3^{x} < 26}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， k)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ， $\vec{c} = (- 2 ， 2)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $k =$ （）

A、4 B、-4 C、2 D、-2

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4. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ 是 $a > b$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在同一直角坐标系中，函数 $y = \frac{1}{a^{x}}$ ， $y = l o g_{a} (x + \frac{1}{2})$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 将函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{12})$ B、 $y = s i n (2 x - \frac{2 π}{3})$ C、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = s i n (2 x - \frac{5 π}{12})$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则 $△ A B C$ 中的最大角是（）

A、直角 B、钝角 C、直角或锐角 D、直角或钝角

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8. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，设 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $c o s θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ，则关于函数 $f (x)$ 的结论，正确的是（）

A、最小正周期为 $2 π$ B、在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 C、最小值为-1 D、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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10. 已知 $O$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心 C、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、若 $\vec{O A} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{O B} \cdot \vec{A C} = 0$ ，则 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} = 0$

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11. 已知在复数范围内关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 3 x + 4 = 0$ 两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 互为共轭复数 B、 $x_{1} + x_{2} = 3$ C、 $x_{1} x_{2} = 4$ D、 $| x_{1} - x_{2} | = \frac{\sqrt{7}}{2}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b = 6$ ， $c = 8$ ，且 $b c o s C + c c o s B = 10$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 边 $A B$ 、 $A C$ 上的动点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的值可能为（）

A、-12 B、-8 C、0 D、64

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (m ， - 6)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则m= ．

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14. 设 $l g 2 = a$ ， $l g 3 = b$ ，把 $l o g_{5} 18$ 用含 $a$ ， $b$ 的式子表示，形式为.

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15. 为了测量A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向.再往正东方向行驶16海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿之间的距离为海里.

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16. 在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上的点且满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $D E ⊥ A B$ 且交 $A B$ 于点 $E$ ， $D F ∥ A B$ 且交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $\vec{A D} = λ \vec{D E} + μ \vec{D F}$ ，则 $λ + μ$ 的值是.

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四、解答题

17. 实数m分别为何值时，复数 $z = (m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 3 m) i$ 是

(1)、实数；

(2)、虚数；

(3)、纯虚数.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2} ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- \frac{1}{2} ， 0)$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{c} = (- 1 ， \sqrt{3})$ ，求向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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19. 在① $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ， ② $\frac{t a n A + t a n B}{t a n A t a n B - 1} = \sqrt{3}$ ， ③ $\frac{s i n C}{2 s i n B - s i n A} = \frac{c o s C}{c o s A}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足____.

(1)、求 $t a n C$ 的值；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D = 6$ ， $B D = 4$ ， $A B = 8$ ，求 $A C$ .

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20. 已知复数 $z_{1} = c o s x - \frac{1}{2} i$ ， $z_{2} = \sqrt{3} s i n x + \frac{1}{2} i$ （ $i$ 是虚数单位）， $x \in R$ .记 $z_{1}$ 所对应的向量 $\vec{O Z_{1}}$ ， $Z_{2}$ 所对应的向量为 $\vec{O Z_{2}}$ ，函数 $f (x) = (\vec{O Z_{1}} + \vec{O Z_{2}}) \cdot \vec{O Z_{1}}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $f (x)$ 的最大值为 $f (A)$ ，且 $a = 3$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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21. 某城市计划举办一个花卉博览会，如图扇形 $O M N$ 是布展区域的平面示意图，其中扇形半径为100米， $∠ M O N = \frac{π}{3}$ .

(1)、如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段 $A B$ 和弧 $B N$ 组成的道路，线段 $A B$ 的一个顶点在弧 $B N$ 上，另一顶点在半径 $O M$ 上，且 $A B ∥ O N$ ，现主办方拟在道路的 $A B$ 段布置一根灯带，当 $B$ 点在弧 $M N$ 中点时，求所需灯带的长度；

(2)、如图2，拟在该区域内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃 $A B O$ 的一个顶点 $B$ 在弧 $M N$ 上，顶点 $A$ 、 $C$ 在半径 $O M$ 、 $O N$ 上，且 $A B ∥ O N$ ， $A C ⊥ O N$ ，求花圃 $△ A B C$ 面积的最大值.

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22. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{1}{x} + a)$

(1)、当 $a = 3$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围.

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