云南省昆明市嵩明县2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {- 1 ， 2} ， B = {x ∣ x^{2} - 2 x = 0}$ ，则集合 $A ∪ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2}$

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2. 已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $Z_{1} (3 ， a)$ ， $Z_{2} (2 ， 1)$ ，且 $z_{1} \cdot z_{2}$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、6 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、-6

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3. 下列结论错误的是（）

A、圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B、一个棱锥至少有四个面 C、一个棱柱至少有两个面平行 D、用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台

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4. 对于非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， “ $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(e^{- 1} ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， e)$ D、 $(e ， 3)$

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6. 如图，用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形，其直观图是一个底角为45°，腰长为 $\sqrt{2}$ ，上底为1的等腰梯形，那么原平面图形的最长边长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、3

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7. 已知 $m$ ､ $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $β ⊥ α$ ， $γ ⊥ α$ ，则 $β / / γ$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $m ⊥ γ$ ，则 $α / / β / / γ$ C、若 $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$

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8. 在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，AB的中点为M， $B^{'} M$ 的中点为N，则异面直线BC与DN所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$

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9. 若关于x的不等式 $x^{2} + (a + 1) x + a b > 0$ 的解集为 ${x | x \neq 1}$ ，则ab的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、－1

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10. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且底面 $A B C D$ 为菱形， $M$ 是 $P C$ 上的一个动点，若要使得平面 $M B D ⊥$ 平面 $P C D$ ，则应补充的一个条件可以是

A、 $M D ⊥ M B$ B、 $M D ⊥ P C$ C、 $A B ⊥ A D$ D、 $M$ 是棱 $P C$ 的中点

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）

A、 $ω = 2$ B、f（x）的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、f（x）在[－ $\frac{2 π}{3}$ ，－ $\frac{π}{6}$ ]上单调递减 D、该图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为BC， $C C_{1}$ $， B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的个数是（）
①直线 $A_{1} G$ 与直线DC所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ②直线 $A_{1} G$ 与平面AEF不平行③点C与点G到平面AEF的距离相等④平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = | 3 - 4 i |$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数是．

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14. 已知 $c o s θ = - \frac{1}{3}$ ，若 $θ$ 是第二象限角，则 $t a n \frac{θ}{2} =$ .

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15. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ .当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - x + a - 1$ ，则 $f (- 3) =$ .

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点在球O的球面上，且满足条件PA=3，PB=4，PC=5，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，则球O的表面积为.

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系xOy中，已知 $\vec{A B} = (- 4, - 3)$ ， $\vec{B C} = (3, 1)$ .

(1)、求 $\vec{B A}$ 与 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值；

(2)、设 $\vec{A P} = λ \vec{A C}$ ，若 $B P ⊥ A C$ ，求实数 $λ$ 的值.

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18. 已知函数 $y = f (x) = \frac{3 - 2^{x}}{3 + 2^{x}}$ ， $x \in R$ .

(1)、判断函数 $y = f (x)$ 的单调性，并给予证明；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的值域.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ P C D = 90 °$ ， $P A = A B = A C = 2$

(1)、证明：AC⊥CD；

(2)、若E是棱PC的中点，求直线AD与平面PCD所成的角

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 2 x + s i n x c o s x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 $a = 2$ ， $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 a \cos A} = \frac{\tan A}{\tan B}$ .

(1)、已知 $△ A B C$ 的面积S满足 $S = 2 \cos A$ ，求角A；

(2)、若边BC上的中线为AD，求AD长的最小值.

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22. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABCD，E为 $A A_{1}$ 中点， $A A_{1} = A B = 2$ .

(1)、求证： $A C_{1} ∥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ；

(2)、求三棱锥 $A - B_{1} D_{1} E$ 的体积；

(3)、在 $A C_{1}$ 上是否存在点M，满足 $A C_{1} ⊥$ 平面 $M B_{1} D_{1}$ ？若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由.

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