四川省凉山州西昌市2021-2022学年高一下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 求 $c o s 6 0^{∘} \cdot s i n 1 5^{∘} \cdot c o s 1 5^{∘}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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2. 已知向量 $\vec{O A} = (4 ， - 4) ， \vec{O B} = (- 5 ， - 1)$ ，则 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ 等于（）

A、 $(3 ， 1)$ B、 $(3 ， - 1)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(1 ， 3)$

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3. $a ， b ， c$ 分别是△ABC内角A，B，C的对边，若 $a = 7 ， b = 11 ， c = 6$ ，则△ABC的形状是（）

A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (1 ， λ)$ ．若 $\vec{c} / / (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 已知 $\frac{s i n α + c o s α}{2 s i n α - c o s α} = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 2021年央视中秋晚会选址在卫星之城西昌，为做好秋晚的前期录制工作，现要测量位于邛海两岸的 $A ， B$ 两个秋晚录制地点间的距离，经测量点 $A 在点 B$ 的北偏东 $1 5^{∘}$ 方向上，在点 $B$ 正东方且距离为2km处确定一点 $C$ ，测得 $A$ 在 $C$ 的北偏西 $4 5^{∘}$ 方向上，则 $A B$ 两个秋晚录制地点间的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ km B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ km C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ km D、 $2 \sqrt{3}$ km

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7. 已知 $α ， β ， γ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 ${\begin{array}{l} s i n α - \sqrt{2} s i n β = \sqrt{5} s i n γ \\ c o s α + \sqrt{2} c o s β = \sqrt{5} c o s γ \end{array}$ ，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知 $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 所对的边， $b ， c$ 是方程 $x^{2} - 3 \sqrt{3} x + 5 = 0$ 的两个根，且 $c o s \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $a =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{23}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{11}$

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9. 在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则 $\vec{E F}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{12} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$

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10. 若 $a = s i n 4 0^{∘} c o s 12 7^{∘} + s i n 5 0^{∘} s i n 5 3^{∘}$ ， $b = \frac{\sqrt{2}}{2} (c o s 3 4^{∘} - s i n 3 4^{∘})$ ， $c = \frac{1 - t a n^{2} 3 9^{∘}}{1 + t a n^{2} 3 9^{∘}}$ 则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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11. 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝ $9 0^{∘}$ ， AD＝4，BC＝2，P是腰DC上的动点，则 $| \vec{P A} + 2 \vec{P B} |$ 的最小值为（）

A、8 B、7 C、6 D、4

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12. 已知 $P$ 为 $△ A B C$ 内任意一点，若满足 $x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C} = \vec{0} (x ， y ， z > 0)$ ，则称 $P$ 为 $△ A B C$ 的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（）
①若 $x = y = z = 1$ ，则点 $P$ 为 $△ A B C$ 的重心；②若 $x = 1$ ， $y = 2$ ， $z = 3$ ，则 $S_{△ P B C} = \frac{1}{6} S_{△ A B C}$ ；③若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P A} \cdot \vec{P C}$ ，则点 $P$ 为 $△ A B C$ 的垂心；④若 $x = 1$ ， $y = 3$ ， $z = 1$ 且 $D$ 为 $A C$ 边中点，则 $\vec{B P} = \frac{2}{5} \vec{B D}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $12 0^{∘}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为．

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14. $t a n 2 6^{∘} + t a n 3 4^{∘} + \sqrt{3} t a n 2 6^{∘} \cdot t a n 3 4^{∘} =$ ．

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15. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n （ \frac{π}{6} - 2 α ） =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 3 \sqrt{5}$ ．点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ．过点 $M$ 的直线 $l$ 分别与边 $A B ， A C$ 交于点 $D ， E$ 且 $\vec{A D} = \frac{1}{λ} \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{μ} \vec{A C}$ ．已知点 $G$ 为 $△ A B C$ 的外心， $\vec{A G} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $| \vec{A G} |$ 为．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角 $α = \frac{π}{4}$ ， $| \vec{a} | = 2 \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 3$

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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18. 已知 $α$ 、 $β$ 均为锐角， $t a n α = \frac{4}{3}$ ， $c o s (α + β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

(1)、求 $c o s 2 α$ 的值

(2)、求 $t a n (α - β)$ 的值．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (c o s \frac{3 θ}{2} ， s i n \frac{3 θ}{2})$ ， $\vec{b} = (c o s \frac{θ}{2} ， s i n \frac{θ}{2})$ ， $\vec{c} = (\sqrt{3} ， 1)$ ，其中 $θ \in R$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ 时，则 $θ$ 值的集合；

(2)、求 $| \vec{a} + \vec{c} |$ 的取值范围．

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20. 在锐角△ $A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是 $a ， b ， c$ ．已知 $s i n^{2} B + s i n^{2} C - s i n^{2} A$ $- \sqrt{3} s i n B s i n C = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{b c o s C - c c o s B}{a}$ 的取值范围．

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21. $a ， b ， c$ 分别是△ $A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 所对的边．已知 $a = 2$ ，
$b c o s A + 2 c o s B - 2 c c o s A = 0$ ．

(1)、求△ $A B C$ 外接圆半径；

(2)、若 $D$ 是 $B C$ 边中点且线段 $A D^{2} = b c$ ，求△ $A B C$ 的面积．

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22. 定义运算 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，函数 $f (x) = | \begin{array}{l} s i n x - m & 1 \\ m & c o s x - m \end{array} |$ $(m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 最小正周期及单调递增区间；

(2)、若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 2$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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