四川省成都市郫都区2021-2022学年高一下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} + a_{11} = 4$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则 $S_{△ A B C}$ 的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知平面直角坐标系上三点 $A (- 1 ， 1)$ 、 $B (3 ， 2)$ 、 $C (2 ， 5)$ ，那么 $| \vec{A B} - \vec{A C} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{13}$

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4. 若 $△ A B C$ 的三边长分别为 $3$ 、 $6$ 、 $7$ ，则该三角形最大角的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{11}{21}$ D、 $\frac{12}{21}$

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5. 若 $t a n α$ ， $t a n β$ 是方程 $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ 两个实数根，则 $t a n (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 某项数为4的等差数列的前三项的和为15，后三项的和为21，则所有项的和为（）

A、36 B、30 C、27 D、24

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7. 若数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = - \frac{1}{4}$ ，且满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、5 C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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8. 已知 $α$ 、 $β$ 为锐角，且 $s i n β = \frac{3}{5}$ ， $c o s (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $s i n α$ 的值为（）

A、 $\frac{63}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $- \frac{48}{65}$ D、 $\frac{48}{65}$

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9. 如下图所示，在某场战争中，一架侦察机在高度为 $10 k m$ 的上空由西向东巡航，发现正前方的地面上有一支装甲车队成直线地由东往西移动，侦察机测得队首车和队尾车的俯角分别为 $30 °$ 和 $7 °$ ，则车队长度大约是（）
（参考数据： $s i n 7 ° \approx 0.12$ ， $s i n 23 ° \approx 0.39$ ）

A、 $60 k m$ B、 $65 k m$ C、 $70 k m$ D、 $75 k m$

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10. 已知 $s i n x + c o s x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，若 $x \in (0 ， π)$ ，则 $c o s 2 x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ，且 $S_{12} = S_{15}$ ，则使 $S_{n} > 0$ 成立的最大 $n$ 值为（）

A、13 B、14 C、26 D、27

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12. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $| \vec{A B} | = 2$ ， $| \vec{A D} | = 1$ ，角 $B$ 、 $D$ 均为直角，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为（）

A、5 B、-5 C、3 D、-3

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二、填空题

13. $s i n 1 5^{∘} c o s 3 0^{∘} + c o s 1 5^{∘} s i n 3 0^{∘}$ 的值为．

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14. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ，则数列 $a_{n} =$ ．

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15. 在矩形 $A B C D$ 中， $| \vec{A B} | = 9$ ， $| \vec{A D} | = 4$ ，若点 $M$ 、 $N$ 满足 $\vec{B M} = 3 \vec{M C}$ ， $\vec{D N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{N M} =$ ．

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16. 如图，△ABC中， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且 $D E = 1$ ，则 $B E^{2} =$ .

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三、解答题

17. 根据下列条件，求相应的等差数列 ${a_{n}}$ 的有关未知数：

(1)、已知 $a_{1} = 3$ ， $a_{n} = 25$ ， $d = 2$ ，求 $n$ ；

(2)、已知 $a_{7} = 3$ ， $a_{3} = 7$ ，求 $S_{10}$ ．

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18. 已知 $t a n α = 2$ ．

(1)、求 $\frac{s i n α + 2 c o s α}{s i n α - c o s α}$ 的值；

(2)、求 $s i n 2 α$ 的值．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (5 ， 2)$ ， $\vec{c} = (3 ， λ)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} - \vec{c}) ⊥ \vec{b}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c}$ ，求 $\vec{a}$ ， $\vec{c}$ 夹角的余弦值．

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20. 已知各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{3} = a_{5}$ ，且 $2 a_{2} = 3$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{2} ， - 1)$ ，向量 $\vec{b} = (c o s x ， \sqrt{2} s i n x)$ ，定义函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及单调减区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (A + \frac{π}{12}) = 0$ ，且 $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $B C$ 边上的中线长．

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22. 已知 $△ A B C$ 中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若 $a = 2$ ，且满足 $c o s B = \frac{2 c - b}{2 a}$ ．

(1)、求角A；

(2)、求 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围．

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四川省成都市郫都区2021-2022学年高一 下学期理数期中考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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