天津市和平区2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集为 $R$ ，集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 1}$ ，集合 $B = {x ∣ - x^{2} + x < 0}$ ，则 $A ∪ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- 2 ， 1]$ B、 $(- 1 ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0] ∪ (1 ， + \infty)$

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2. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a | a | < b | b |$ ”是“ $a < b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）

A、6 B、8 C、12 D、18

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5. 已知 $a = 3^{0.4}$ ， $b = l o g_{4} 32$ ， $c = l o g_{5} 50$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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6. 已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、3 D、 $\frac{9}{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p < 0)$ 交双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线于 $A ， B$ 两点（异于坐标原点），双曲线的离心率为 $\sqrt{2} ， △ A O B$ 的面积为64，则抛物线的焦点坐标为（）

A、 $(2 ， 0)$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(- 4 ， 0)$

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8. 函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，已知函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 有且仅有3个最大值点，则下列说法错误的个数是（）
①函数 $| f (x) |$ 的最小正周期为2：②点 $(- \frac{9}{4} ， 0)$ 为 $f (x)$ 的一个对称中心；③函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{3}{2}$ 个单位后得到 $y = A s i n (ω x + φ)$ 的图象：④函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3}{25} m ， 0]$ 上是增函数.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 已知函数 $f (x)$ 满足当 $x \leq 0$ 时， $2 f (x - 2) = f (x)$ ，且当 $x \in (- 2 ， 0]$ 时， $f (x) = | x + 1 | - 1$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ).若函数 $f (x)$ 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）

A、 $(625 ， + \infty)$ B、 $(4 ， 64)$ C、 $(9 ， 625)$ D、 $(9 ， 64)$

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二、填空题

10. 复数：满足 $\bar{z} i = 3 + 4 i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为.

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11. 若 $(1 - 3 x)^{n}$ 展开式中各项系数的和等于64，则展开式中 $x^{2}$ 的系数是.

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12. 设直线 $y = x + 2 a$ 与圆C：x²+y²-2ay-2=0相交于A，B两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则圆C的面积为

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13. 已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为．

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14. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球､6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖：若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖.求顾客抽奖1次能获奖的概率；若某顾客有3次抽奖机会，则该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率.

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15. 如图.在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C ， ∠ B C D = 6 0^{∘}$ ， $∠ A D C = 15 0^{∘} ， \vec{B E} = 3 \vec{E C} ， C D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， B E = \sqrt{3} ， B D =$ ；若点 $F$ 为边 $A D$ 上的动点，则 $\vec{E F} \cdot \vec{B F}$ 的最小值为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .

(1)、若 $a = 3 c ， b = \sqrt{2} ， c o s B = \frac{2}{3}$ ，求 $c$ 的值；

(2)、若 $\frac{s i n A}{a} = \frac{c o s B}{2 b}$ ，求 $s i n (B + \frac{π}{2})$ 的值；

(3)、若 $A + C = 2 B$ ，且 $s i n A s i n C = c o s^{2} B$ ，三角形的面积 $S = 4 \sqrt{3}$ ，求边 $b$ 的值.

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17. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面四边形ABCD为菱形， $∠ A B C = 6 0^{∘} ， A A_{1} = A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B = 1 ， A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、若点 $M$ 是 $A D$ 的中点，求证： $C_{1} M / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$

(2)、求直线 $C_{1} M$ 与平面 $A D_{1} D$ 所成角的余弦值；

(3)、棱 $B C$ 上存在点 $E$ ，使得 $C E = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求平面 $E A D_{1}$ 与平面 $A D_{1} D$ 的夹角的正弦值.

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18. 已知点M是椭圆C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆C的上、下焦点， $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，当 $∠ F_{1} M F_{2} = 90 °$ ， $△ F_{1} M F_{2}$ 的面积为5.

(1)、求椭圆C的方程：

(2)、设过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线 $l$ ，使得 $△ O A F_{2}$ 与 $△ O B F_{1}$ （O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线 $l$ 的方程：若不存在，说明理由.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = \frac{1}{2}$ ，且満足 $\frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b_{n - 1}} = 1 (n > 2 ， n \in N^{*})$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{b_{n}} ， n 为奇数 \\ a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ；求 $\sum_{i = 1}^{n} c_{i}$

(3)、 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}$ ，数列 ${\frac{a_{n}}{T_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $R_{n}$ ，求证： $\frac{3}{4} (1 - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}) \leq R < 1$ .

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20. 设 $a ， b$ 为实数，且 $a > 1$ ，已知函数 $g (x) = a^{x} ， h (x) = b x - e^{2} (x \in R)$ .

(1)、当 $a = e$ 时，曲线 $g (x)$ 的切线方程为 $y = h (x) + e^{2}$ ，求 $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x) = g (x) - h (x)$ 的单调区间：

(3)、若对任意 $b > 2 e^{2}$ ，函数 $f (x) = g (x) - h (x)$ ）有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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