四川省宜宾市2022届高三下学期理数第三次诊断测试试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {x | x > 0}$ ， $A = {x | x (x - 2) < 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x | x > 0}$ B、 ${x | x > 2}$ C、 ${x | x \geq 2}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位， $1 + i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - m = 0 (m \in R)$ 的一个根，则 $m =$ （）

A、4 B、-4 C、2 D、-2

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3. 已知两条直线m，n和平面 $α$ ，则 $m ⊥ n$ 的一个充分条件是（）

A、 $m ⊥ α$ 且 $n ⊥ α$ B、 $m ∥ α$ 且 $n \subset α$ C、 $m ⊥ α$ 且 $n \subset α$ D、 $m ∥ α$ 且 $n ∥ α$

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4. 若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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5. 执行如图所示的程序框图，若输入 $n$ 的值为5，则输出 $S$ 的值为（）

A、5 B、6 C、25 D、36

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6. 已知 $\vec{A B} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{A C} = (3 ， m)$ ，若 $\vec{B C} ⊥ \vec{A B}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{3}{2}$ D、-2

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7. 如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n个正方形，设这n个正方形的面积之和为 $S_{n}$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、 $\frac{17}{16}$ B、 $\frac{31}{16}$ C、 $\frac{63}{32}$ D、 $\frac{33}{32}$

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8. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = e^{x} - 1$ ，若关于x的方程 $f (x) = m (x + 1) (m > 0)$ 恰有5个解，则m的取值范围为（）

A、 $(\frac{e - 1}{6} ， \frac{e - 1}{5})$ B、 $(\frac{e - 1}{6} ， \frac{e - 1}{4})$ C、 $(\frac{e - 1}{8} ， \frac{e - 1}{6})$ D、 $(0 ， e - 1)$

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9. 在新高考“ $3 + 1 + 2$ ”模式中，“3”是指语文、数学、外语3门科目必考，“1”是指从“首选科目”物理、历史2门中选考1门，“2”是指从“再选科目”思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门．若某同学在“首选科目”已选物理的情况下，从“再选科目”中随机选2门，其中有化学的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ 且 $S_{n}^{2} = a_{n} S_{n} - a_{n} (n \geq 2)$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - l n (- x) ， a \leq x < 0 ， \\ - x^{2} + 2 x ， 0 \leq x \leq 3 \end{array}$ 的值域为 $[- 3 ， + ∞)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- e^{3} ， 0)$ B、 $[- e^{3} ， - \frac{1}{e})$ C、 $[- e^{3} ， - \frac{1}{e}]$ D、 $(- e^{3} ， - \frac{1}{e})$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a^{2} = b^{2} - 3 c$ ， $s i n (B - A) = 2 s i n A c o s B$ ，则边 $c =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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二、填空题

13. 若随机变量 $ξ \sim N (2 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ， $P (ξ \leq 3) = 0.9$ ，则 $P (1 \leq ξ < 2) =$ ．

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14. 若曲线 $f (x) = \frac{a}{x}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为2，则 $a =$ ．

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15. 已知A，B，C为球 $O$ 的球面上的三个点，且 $A B ⊥ B C$ ，球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，若球 $O$ 的表面积为 $16 π$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 体积的最大值为．

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16. 已知点 $A (1 ， \sqrt{2})$ 在曲线 $E$ ： $2 m x^{2} + m y^{2} = 1$ 上，斜率为 $\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $B$ ， $C$ 两点，且 $B$ ， $C$ 两点与点 $A$ 不重合，有下列结论：
（1）曲线 $E$ 有两个焦点，其坐标分别为 $(- \sqrt{2} ， 0)$ ， $(\sqrt{2} ， 0)$ ；
（2）将曲线 $E$ 上所有点的横坐标扩大为原来的 $\sqrt{2}$ 倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆；
（3） $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{2}$ ；
（4）线段 $B C$ 长度的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示：

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，且 $α \in (0 ， π)$ ，求 $c o s 2 α$ 的值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ B A D = ∠ C B A = \frac{π}{2}$ ， $B C = 1$ ， $P A = A D = D P = A B = 2$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 为 $A P$ 的中点．

(1)、证明： $B M / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. 今年上海疫情牵动人心，大量医务人员驰援上海．现从这些医务人员中随机选取了年龄（单位：岁）在 $[25 ， 50]$ 内的男、女医务人员各100人，以他们的年龄作为样本，得出女医务人员的年龄频率分布直方图和男医务人员的年龄频数分布表如下：
年龄（单位：岁）
频数
$[25 ， 30)$
30
$[30 ， 35)$
20
$[35 ， 40)$
25
$[40 ， 45)$
15
$[45 ， 50]$
10

(1)、求频率分布直方图中a的值：

(2)、在上述样本中用分层抽样的方法从年龄在 $[25 ， 35)$ 内的女医务人员中抽取8人，从年龄在 $[25 ， 35)$ 内的男医务人员中抽取5人．记这13人中年龄在 $[30 ， 35)$ 内的医务人员有m人，再从这m人中随机抽取2人，求这2人是异性的概率：

(3)、将上述样本频率视为概率，从所有驰援上海的年龄在 $[40 ， 50]$ 内的男医务人员中随机抽取8人，用 $X$ 表示抽到年龄在 $[45 ， 50]$ 内的人数，求 $X$ 的数学期望及方差．

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20. 设抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，以 $N (2 ， 1)$ 为圆心，5为半径的圆被抛物线 $E$ 的准线截得的弦长为8．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、过点 $N$ 的两条直线分别与曲线 $E$ 交于点A，B和C，D，且满足 $\vec{N A} = λ \vec{N B}$ ， $\vec{N C} = λ \vec{N D}$ ，求证：线段 $B D$ 的中点在直线 $y = 1$ 上．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x + 1}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0 ， e]$ 上的最值；

(2)、若关于x的不等式 $\frac{f (x)}{1 - x} > \frac{k}{x}$ 恒成立，求k的取值范围．

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22. 已知圆 $C$ 的直角坐标方程为 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3}}{2} t ， \\ y = \frac{1}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以平面直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆 $C$ 和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、设射线 $m$ 的极坐标方程为 $θ = α$ ， $α \in [0 ， 2 π)$ ， $m$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $l$ 与圆 $C$ 相交于A、B两点，若 $\frac{| A B |}{| O M |} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ ，求点 $M$ 的极坐标．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x - 2 |$ ．

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) - x - 1 \leq 0$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x) + | 2 x + 1 | - 3$ ， $g (x)$ 的最小值为 $m$ ，若 $a + b + c = m$ ， $a b c = 2 m$ ， $a > 0$ ，求 $a$ 的最小值．

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年龄（单位：岁）	频数
$[25 ， 30)$	30
$[30 ， 35)$	20
$[35 ， 40)$	25
$[40 ， 45)$	15
$[45 ， 50]$	10