四川省南充市2022届高三下学期理数高考适应性考试（三诊）试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {x | - 1 < x \leq 4} ， A = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ，则 $∁_{U} A$ =（）

A、[-1，0） B、[-1，0] C、（-1，0） D、（-1，0]

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2. 设 $θ \in (0 ， 2 π)$ ，则“方程 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4 s i n θ} = 1$ 表示双曲线”的必要不充分条件为（）

A、 $θ \in (0 ， π)$ B、 $θ \in (\frac{2 π}{3} ， 2 π)$ C、 $θ \in (π ， \frac{3 π}{2})$ D、 $θ \in (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$

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3. 为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）

A、药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B、药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C、药物A，B对该疾病均有显著的预防效果 D、药物A，B对该疾病均没有预防效果

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4. 已知随机变量 $X ∼ N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 0) = P (X \geq a)$ ，则 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、-240 B、-60 C、240 D、60

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5. 以坐标原点O为圆心的圆全部都在平面区域 ${\begin{array}{l} x + 3 y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \sqrt{2} \geq 0 \end{array}$ 内，则圆O的面积的最大值为（）

A、 $\frac{18 π}{5}$ B、 $\frac{9 π}{5}$ C、2π D、π

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6. 函数 $g (x) = f (x) - f (- x) + 1$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，有下列四个等式：① $a_{1} = - 1$ ② $d = 1$ ③ $a_{1} + a_{2} = 0$ ④ $a_{3} = 3$ ；若其中只有一个等式不成立，则不成立的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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8. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， CN与BM交于点P，则 $c o s ∠ B P N$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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9. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且 $y$ 随时间 $t$ （单位：分钟）的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{10}} (λ \in R)$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间 $t$ （单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据 $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 3 \approx 1.098$ ）

A、7 B、9 C、10 D、11

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10. 设 $a = 0 . 5^{0.2}$ ， $b = l o g_{0.2} 0.5$ ， $c = l o g_{0.5} 0.2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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11. 已知P为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点，点M，N分别在直线 $l_{1} ： y = \frac{1}{2} x$ 与 $l_{2} ： y = - \frac{1}{2} x$ 上，且 $P M ∥ l_{2}$ ， $P N ∥ l_{1}$ ，若 ${| P M |}^{2} + {| P N |}^{2}$ 为定值，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ，过点 $P (1 ， 0)$ 作函数 $y = f (x)$ 图象的两条切线，切点分别为M，N．则下列说法正确的是（）

A、 $P M ⊥ P N$ B、直线MN的方程为 $2 x - y + 1 = 0$ C、 $| M N | = 2 \sqrt{10}$ D、 $△ P M N$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 若复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则z在复平面内对应的点在第象限．

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14. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{3} = 7$ ， $S_{6} = 63$ ，则 $S_{9} =$ ．

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15. 正方形ABCD边长为3，P为正方形ABCD边界及内部的动点，且 $| P B | = 2 | P A |$ ，则动点P的轨迹长度为．

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16. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且 $O A = O B = O C = 2$ ， M为 $△ A B C$ 内部一动点，过M分别作平面OAB，平面OBC，平面OAC的垂线，垂足分别为P，Q，R．
①直线PR与直线BC是异面直线；
② $| M P | + | M Q | + | M R |$ 为定值；
③三棱锥 $M - P Q R$ 的外接球表面积的最小值为 $\frac{4 π}{3}$ ；
④当 $| M P | = | M Q | = \frac{2}{3}$ 时，平面PQR与平面OBC所成的锐二面角为45°．
则以上结论中所有正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $b = 5$ ， $∠ C = \frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、求 $s i n (3 A + B)$ 的值．

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18. 2022年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发．该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒．我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者．一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察．调查发现某位感染者共有10位密切接触者，将这10位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测．核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用“k合1检测法”．“k合1检测法”是将k个样本混合在一起检测，若混合样本只要呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测；若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性．通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立．

(1)、现对10个样本进行单样本检测，求检测结果最多有2个样本为阳性的概率 $f (p)$ 的表达式；

(2)、若对10个样本采用“5合1检测法”进行核酸检测．
①求某个混合样本呈阳性的概率；
②设总检测次数为X，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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19. 下图甲是由直角梯形ABCD和等边三角形CDE组成的一个平面图形，其中 $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = 2 B C = 2 A B = 2$ ，将 $△ C D E$ 沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），使二面角 $P - C D - B$ 为直二面角．

(1)、证明： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值．

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20. 已知点F是抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点，直线l与抛物线C相切于点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} > 0)$ ，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．

(1)、若 $x_{0} = 1$ ，求直线l的方程；

(2)、求三角形PAB面积S的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} (a - 1) x^{2} + a x - 2 l n x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时， $g (x) = f (\sqrt{x})$ ，若 $m \leq 3 - 4 l n 2$ ，求证：对于任意 $k > 0$ ，函数 $h (x) = \frac{g (x) - m}{x} - k$ 有唯一零点．

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22. 如图是以等边 $△ O A B$ 的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形，记为勒洛 $△ O A B$ （勒洛三角形是德国机械工程专家，机械运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（规定：极径 $ρ \geq 0$ ，极角 $θ \in [- π ， π]$ ），已知A，B两点的极坐标分别为 $A (2 ， - \frac{π}{6})$ ， $B (2 ， \frac{π}{6})$ ．

(1)、求 $\overset{⌢}{A B}$ 和 $\overset{⌢}{O B}$ 的极坐标方程；

(2)、已知M点的极坐标 $M (\sqrt{2} ， \frac{π}{12})$ ， Q是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的动点，求 ${| M Q |}^{2}$ 的取值范围．

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23. 设函数 $f (x) = | x - 2 | + | x + 1 |$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值及取得最小值时x的取值范围；

(2)、若集合 ${x | f (x) + a x - 1 > 0} = R$ ，求实数a的取值范围

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