四川省眉山市2022届高中理数第三次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | (x + 1) (x - 2) \leq 0}$ ， $B = [0 ， 3)$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、(2，3) B、[0，2] C、[－1，2] D、[－1，3）

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2. 已知复数 $z_{1} = \frac{1}{i}$ ， $z_{2} = \frac{2}{1 - i}$ ，则复平面内表示复数 $2 z_{1} + z_{2}$ 的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. “F是抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点”是“F是双曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点”的（）

A、充分必要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不是充分条件也不是必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{9} (x + 1) (2 x^{2} - 8 x - 1)$ ，曲线 $y = f (x)$ 以点 $A (- 1 ， f (- 1))$ 为切点的切线方程是（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x + y + 1 = 0$ D、 $x - y + 1 = 0$

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5. ${(m - x)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为-20，则 $m^{2} =$ （）

A、2 B、1 C、3 D、 $\sqrt{2}$

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6. 四参数方程的拟合函数表达式为 $y = \frac{a - d}{1 + {(\frac{x}{c})}^{b}} + d (x > 0)$ ，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如 $y = x^{- 1}$ ），还可以是一条S形曲线，当 $a = 4$ ， $b = - 1$ ， $c = 1$ ， $d = 1$ 时，该拟合函数图象是（）

A、类似递增的双曲线 B、类似递增的对数曲线 C、类似递减的指数曲线 D、是一条S形曲线

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7. 2021年冬某地民兵预备役训练，民兵射击成绩（单位：环） $ξ ~ N (7.6 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ， $P (7.2 < ξ \leq 8) = 0.68$ .如果8940名民兵的射击成绩中有 $η$ 个在区间（ $7.6$ ， 8]上，则（）

A、 $η ~ B (8940 ， 0.68)$ B、 $η ~ B (8940 ， 0.34)$ C、 $η ~ N (7.6 ， σ^{2})$ D、 $η ~ N (7.6 ， 0.34)$

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8. 三棱锥A-BCD的四个顶点都在表面积为 $16 π$ 的球O上，点A在平面BCD的射影是线段BC的中点， $A B = B C = 2 \sqrt{3}$ ，则平面BCD被球O截得的截面面积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、3π C、4π D、 $3 \sqrt{3} π$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {\begin{array}{l} a n^{2} - (\frac{7}{8} a + \frac{17}{4}) n + \frac{17}{2} ， n \leq 2 ， \\ a^{n} ， n > 2 \end{array}$ ，若 ${a_{n}}$ 是递增数列，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1.5 ， + \infty)$ B、 $(1.8 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(2.25 ， + \infty)$

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10. 下列结论正确的是（）

A、 $π^{2} > 2 e l n π$ B、 $π < e l n π$ C、 $e^{2} l n^{2} π > 4 π$ D、 $π^{e} < e^{2} l n π$

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11. 下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知 $A B = 8 m$ ， $B O = 16 m$ ， $P O = 12 m$ ， $\vec{P B} \cdot \vec{P C} = 0$ .根据物理学知识得 $\frac{1}{2} (\vec{P A} + \vec{P B}) + \frac{1}{2} (\vec{P C} + \vec{P D}) = 2 \vec{P O}$ ，则 $C D =$ （）

A、28m B、20m C、31m D、22m

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12. 广场内有一椭圆形区域，其边沿与椭圆 $\frac{9 x^{2}}{20 0^{2}} + \frac{y^{2}}{5 0^{2}} = 1$ 完全重合（单位：m）.现拟在该椭圆区域内用黑白磁砖贴一个完整的正方形图案（如图），每块黑白磁砖规格为50×50（单位：cm），所贴磁砖最里面的黑色磁砖中心与椭圆中心重合，磁砖边沿与椭圆的对称轴平行.该椭圆区域需要的黑色磁砖块数最多是（）

A、12481 B、12480 C、12801 D、12800

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， k)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则k=.

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14. 若 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ y \geq - 2 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是.

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15. 已知函数 $f (x) = x c o s α - α c o s α + s i n α (- \frac{π}{2} < α < 0)$ ， $x = π$ 是 $f (x)$ 的零点，则当 $- \frac{π}{2} ≤ x ≤ \frac{3 π}{2}$ 时，不等式 $f (x) - s i n x \leq 0$ 的解集为.

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16. 已知A是抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 4 x$ 的准线上的点，B是x轴上一点，O为原点，直线AB与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 两渐近线分别交于不同两点M，N.若双曲线 $C_{2}$ 的离心率为2， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 将① $s i n^{2} A + s i n B s i n C = s i n^{2} B + s i n^{2} C$ ， ② $2 a c o s A = b c o s C + c c o s B$ ， ③ $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} b c$ 之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知锐角 $△ A B C$ 三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，____.

(1)、求角A；

(2)、若 $f (x) = c o s x s i n (x + \frac{α}{2}) (\frac{π}{3} < α < \frac{5 π}{6})$ ， $c o s (α - A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，当 $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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18. 新冠疫苗有三种类型：腺病毒载体疫苗､灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗.腺病毒载体疫苗只需要接种一针即可产生抗体，适合身体素质较好的青壮年，需要短时间内完成接种的人群，突发聚集性疫情的紧急预防.灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗安全性高，适合老､幼､哺､孕及有慢性基础病患者和免疫缺陷人群，灭活疫苗需要接种两次.重组蛋白亚单位新冠疫苗需要完成全程三针接种，接种第三针后，它的有效保护作用为90%，人体产生的抗体数量提升5-10倍，甚至更高（即接种疫苗第三针后，有90%的人员出现这种抗疫效果）.以下是截止2021年12月31日在某县域内接种新冠疫苗人次（单位：万人，忽略县外人员在本县接种情况）统计表：

腺病毒载体疫苗
灭活疫苗
重组蛋白亚单位疫苗
第一针
0.5
10
110
第二针
0
10
110
第三针
0
0
100
其中接种腺病毒载体疫苗的统计情况如下：
接种时间
接种原因
接种人次（单位：人）
3月
疫情突发
1500
6月
高考考务
1000
7月
抗洪救灾
2500

(1)、遭遇3月疫情突发､服务6月高考考务､参加7月抗洪救灾的人都是不同的人.在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，求这个人参加了抗洪救灾的概率；

(2)、在已接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗的人员中，用分层抽样的方法抽取12人，其中接种重组蛋白亚单位疫苗的人员是根据人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据分层抽样抽取的，再从这12人随机抽取3人，这3人中，人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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19. 如图，已知在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 6$ ， $A B ⊥ A C$ ， F是线段BC的中点，点O在线段AF上， $A O = 2 \sqrt{2}$ ， D是侧棱 $C C_{1}$ 中点， $B D ∩ C B_{1} = E$ .

(1)、证明： $O E$ $∥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 4$ ，点 $A_{1}$ 在平面ABC内的射影为O，求直线OE与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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20. 如图，椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 e ，点 $(1 ， e)$ 在 $Γ$ 上.A，B是 $Γ$ 的上､下顶点，直线l与 $Γ$ 交于不同两点C，D（两点的横坐标都不为零，l 不平行于 x轴）.点E与C关于原点O对称，直线AE与BD交于点F，直线FO与 l 交于点M.

(1)、求 b 的值；

(2)、求点 M 到 x 轴的距离.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{e} (x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在正数m，使得对任意 $x \in (0 ， a] (a \in N^{*})$ ， $(m + 20 x - x^{2}) x^{e} \leq e^{7} x$ 恒成立，求a的最大值（参考结论： $15 \times 5^{e} > e^{7}$ ）.

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22. 已知圆C的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = 5 + 2 c o s α ， \\ y = \sqrt{3} + 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s θ - \sqrt{3} ρ s i n θ = 3$ ，将直线 $l_{1}$ 向左平移3个单位长度得到直线 $l_{2}$ .

(1)、求圆C的极坐标方程和直线 $l_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $l_{2}$ 与圆C交于点A，B，求优弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 长度的比值.

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23. 已知 $f (x) = | x - a | + 2 x$ ，不等式 $f (x) \geq 5 a$ 的解集为 $[2 ， + \infty)$ .

(1)、求实数a的值；

(2)、若 $m > 0$ ， $n > 0$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 2 a$ ，求 $\frac{2 m + 1}{m + 1} + \frac{2 n + 1}{n + 1}$ 的最小值.

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	腺病毒载体疫苗	灭活疫苗	重组蛋白亚单位疫苗
第一针	0.5	10	110
第二针	0	10	110
第三针	0	0	100

接种时间	接种原因	接种人次（单位：人）
3月	疫情突发	1500
6月	高考考务	1000
7月	抗洪救灾	2500