四川省凉山州2022届高三理数第三次诊断考试试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ， $C = {2 ， 3}$ ，则 $A ∩ (B ∪ C) =$ （）

A、 $[1 ， 3]$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则 $| 1 + z i | =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 已知直线 $l_{1} ： 2 x - y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： x + a y - 1 = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，点 $P (1 ， 2)$ 到直线 $l_{2}$ 的距离 $d =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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4. 下列选项中，p是q的充分不必要条件的是（）

A、 $△ A B C$ 中， $p ： A > B$ ， $q ： s i n A > s i n B$ B、 $p ： b^{2} = a c$ ， $q ： a ， b ， c$ 成等比数列 C、 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，p：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，q：数列 $S_{m}$ ， $S_{2 m} - S_{m}$ ， $S_{3 m} - S_{2 m}$ 成等比数列 D、 $α \in R$ ， $p ： t a n α = 2$ ， $q ： c o s 2 α = - \frac{3}{5}$

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5. 某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时间t的关系为 $N = N_{0} e^{- k t}$ （ $N_{0}$ 为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清除至最初的49%还需要（）小时．

A、9 B、6 C、4 D、3

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6. 如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 互为共轭双曲线， $C_{1}$ 的焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $C_{2}$ 的焦点分别为 $F_{3}$ ， $F_{4}$ ，顶点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，过四个焦点的圆的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{π}$ B、 $\frac{2}{π}$ C、 $\frac{3}{π}$ D、 $\frac{4}{π}$

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7. 将函数 $f (x) = s i n ω x c o s ω x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (x)$ 的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为 $\frac{π}{4}$ ，对于函数 $g (x)$ 有以下几个结论：
（1） $ω = 2$ ；（2）它的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称；（3）它的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称；（4）若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $g (x) \in [- \sqrt{3} ， 2]$ ；
则上述结论正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - s i n x$ ，若 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- ∞ ， 0)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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9. 等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} \neq 1$ 且 $a_{n} \neq 0$ ， $a_{1} + a_{21} = 1$ ，若 $f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$ ，则 $f (a_{1}) \cdot f (a_{2}) \cdot f (a_{3}) ⋯ ⋯ f (a_{21}) =$ （）

A、 $\pm 4^{21}$ B、 $\pm 2^{21}$ C、 $2^{21}$ D、 $- 2^{21}$

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10. 已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[11 ， 16]$ B、 $[11 ， 15]$ C、 $[12 ， 15]$ D、 $[11 ， 14]$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线 $(a - 1) x + y - 2 a + 1 = 0$ 的垂线，垂足为P，则 $| M F | + | M P |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5 - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{2}}{2}$ C、5 D、3

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 2 a ， x \leq 0 \\ l n x ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，且 $2 x_{2} - x_{1}$ 的最小值为 $l n 2$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{l n (l n \sqrt{2})}{2}$ C、 $\frac{e}{2}$ D、 $- \frac{e}{2}$

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二、填空题

13. 已知 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则 $x^{2}$ 的系数为.

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14. 2022年中央一号文件公布，提出全面推进乡镇村振兴中点工作，而实施乡村振兴战略关键在教育．某乡村建有农业科技图书馆供村民免费借阅，现有近5年的借阅数据如下表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
年借阅量y（万册）
4.8
5.2
5.4
5.7
5.9
根据上表所得y关于x的线性回归方程为： $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则预计2022年借阅量大约为万册（精确到小数点后两位）．

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15. $△ A B C$ 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是 $△ A B C$ 所在平面内的动点，满足 $\vec{O P} = \vec{O B} + λ (\frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} + \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |})$ （ $λ > 0$ ）．射线BP与边AC交于点D．若 $B = \frac{π}{3}$ ， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最小值为．

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16. 正四面体ABCD的棱长为a，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，若截面面积最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $a =$ ．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} = 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1} = 2$ ，且满足 $a_{3} + b_{3} = 13$ ， $a_{5} + b_{5} = 41$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ；

(2)、若 ${b_{n}}$ 中的各项均为正数，设数列 ${l o g_{2} b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下：（单位：人）

喜爱
不喜爱
合计
男生
30
20
50
女生
40
10
50
合计
70
30
100
参考数据及公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$P (K^{2} \geq K_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$K_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、根据列联表及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为是否喜爱吉祥物与性别有关？

(2)、现从样本男生中按分层抽样的方法取出5分，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人喜爱吉祥物，求X的分布列和期望.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， E为线段 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明：平面 $E A C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C C_{1}$ ；

(2)、若二面角 $A_{1} - A E - C_{1}$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求 $A A_{1}$ 的长.

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20. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，过其焦点且垂直于x轴的弦长为1．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、已知曲线 $C_{2} ： x^{2} = 4 y$ ， $C_{2}$ 在点P处的切线l交 $C_{1}$ 于M，N两点，且 $\vec{N M} = 4 \vec{M P}$ ，求l的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = m x e^{x} + {(x + 1)}^{2}$ （ $m \in R$ ， e为自然对数的底数）.

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = (2 m + 3) x$ 平行，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x \in [- 2 ， 2]$ 时， $f (x) \leq 2$ ，求m的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = t c o s α \\ y = 1 + t s i n α \end{array}$ （t为参数， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s θ = 4 t a n θ$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (0 ， 1)$ ，设曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的交点分别为A，B，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 2$ ，求 $α$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ ， $g (x) = | k x - 4 |$

(1)、若 $g (x) \leq 2$ 的解集为 $[1 ， 3]$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若 $k = 1$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq g (x) + a^{2} - 4 a$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码x	1	2	3	4	5
年借阅量y（万册）	4.8	5.2	5.4	5.7	5.9

$P (K^{2} \geq K_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$K_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

	喜爱	不喜爱	合计
男生	30	20	50
女生	40	10	50
合计	70	30	100