四川省成都市2022届高三理数第三次诊断考试试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} + 2 > 0$ ”的否定是（）．

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} + 2 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $e^{x} + 2 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} + 2 > 0$ D、 $\forall x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} + 2 < 0$

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2. 设集合 $A = {x | | x | < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）．

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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3. 二项式 ${(1 + 2 x)}^{5}$ 展开式的各项系数之和为（）．

A、-1 B、1 C、32 D、243

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4. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 3 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最小值为（）．

A、-1 B、4 C、5 D、14

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = \frac{7 π}{12}$ ， $∠ C = \frac{π}{6}$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影为（）．

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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6. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当 $| P F_{1} | = 6$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积为（）．

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{7}$ C、 $\frac{\sqrt{455}}{2}$ D、 $6 \sqrt{7}$

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7. 将最小正周期为 $π$ 的函数 $f (x) = 2 s i n (2 ω x - \frac{π}{6}) + 1 (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的图象的对称中心为（）．

A、 $(- \frac{5 π}{24} + \frac{k π}{4} ， 1)$ ， $k \in Z$ B、 $(- \frac{π}{48} + \frac{k π}{2} ， 1)$ ， $k \in Z$ C、 $(- \frac{π}{6} + \frac{k π}{2} ， 1)$ ， $k \in Z$ D、 $(- \frac{π}{24} + \frac{k π}{2} ， 1)$ ， $k \in Z$

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8. 已知 $α$ ， $β$ 为空间中的两个平面，m，n为两条异面直线，且 $m ⊥$ 平面 $α$ ， $n ⊥$ 平面 $β$ ．若直线l满足 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ， $l ⊄ α$ ， $l ⊄ β$ ，则（）．

A、 $α / / β$ ， $l / / α$ B、 $α$ 与 $β$ 相交，且交线垂直于l C、 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ β$ D、 $α$ 与 $β$ 相交，且交线平行于l

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9. 在某大学一食品超市，随机询问了70名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养说明，得到如下的列联表：

女
男
总计
要查看营养说明
15
25
40
不查看营养说明
20
10
30
总计
35
35
70
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
$k_{0}$
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
根据列联表的独立性检验，则下列说法正确的是（）．

A、在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多 B、在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明的人数与不查看营养说明的人数比为 $\frac{3}{4}$ C、在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系 D、在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系

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10. 若实数m，n满足 $\frac{1}{2} n = \sqrt{2 m - m^{2}}$ ，则 $2 m + \sqrt{3} n - 2$ 的最大值为（）．

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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11. 已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的六个顶点都在球O的球面上， $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1} = \sqrt{10}$ ， $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 分别是边长为 $\sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，则球O的体积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $\frac{20 \sqrt{5} π}{3}$ C、36π D、 $\frac{40 \sqrt{10} π}{3}$

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12. 若函数 $f (x) = 9^{x} + \frac{l o g_{3} \sqrt{x - 1}}{x^{2} - x}$ 的零点为 $x_{0}$ ，则 $9^{x_{0}} (x_{0} - 1) =$ （）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

13. 已知i为虚数单位，则复数 $z = \frac{- 1 + 2 i}{1 + i}$ 的实部为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n} a_{n + 1} + 2 = 2 a_{n}$ ，则 $a_{2022}$ 的值为．

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15. 记定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ， $f (1) = 1$ ，则不等式 $f (x) > e^{x - 1}$ 的解集为．

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16. 如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ 相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：
①弦AC长度的最小值为 $4 \sqrt{5}$ ；
②线段BO长度的最大值为 $10 - \sqrt{5}$ ；
③点M的轨迹是一个圆；
④四边形ABCD面积的取值范围为 $[20 \sqrt{5} ， 45]$ ．
其中所有正确结论的序号为．

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三、解答题

17. 某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间 $[50 ， 100]$ 中）作为样本进行统计．按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ 的数据）．

(1)、求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；

(2)、在选取的样本中，从竞赛成绩不低于70分的三组学生中按分层抽样抽取了9名学生，再从抽取的这9名学生中随机抽取2名学生到天府广场参加环保知识宣传活动，求这2名学生中恰好有1名学生的分数在 $[70 ， 80)$ 中的概率．

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18. 如图，在等腰梯形ADEF中， $A D ∥ E F$ ， $A D = 3$ ， $D E = \sqrt{2}$ ， $E F = 1$ ．在矩形ABCD中， $A B = 1$ ．平面 $A D E F ⊥$ 平面ABCD．

(1)、证明： $B F ⊥ C F$ ；

(2)、求直线AF与平面CEF所成角的大小．

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19. 已知 $△ A B C$ 中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为钝角，且 $2 a s i n (\frac{π}{3} - B) = \frac{\sqrt{3} b s i n A}{s i n 2 B}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若点D在AC边上，满足 $A C = 4 A D$ ，且 $A B = 4$ ， $B D = 3$ ，求BC边的长．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 a x^{2} - 12 a^{2} x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} - (12 a^{2} - 1) x + 2 s i n x - 2$ ．当 $a > 0$ ， $x > 0$ 时，证明： $g (x) < f (x)$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点 $(\sqrt{6} ， 2)$ ，椭圆C的右顶点到抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线的距离为4．

(1)、求椭圆C和抛物线E的方程；

(2)、设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分 $∠ M H N$ ？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t} \\ y = \frac{t}{2} - \frac{1}{2 t} \end{array}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

(2)、已知点P的直角坐标为 $(0 ， 4)$ ，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - x | + 1$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 3$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) + | x - 2 | + m > 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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	女	男	总计
要查看营养说明	15	25	40
不查看营养说明	20	10	30
总计	35	35	70

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879