上海市2022届高三数学模拟卷（一）

试卷更新日期：2022-05-27 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设集合 $M = {0 ， 1 ， 2}$ ， $N = {1 ， a}$ ，若 $M \supseteq N$ ，则实数 $a =$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{1}{3 + 4 i}$ ，则 $| z | =$ ．

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3. 不等式 $\frac{x}{3 x - 2} > 2$ 的解集是

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4. 若方程组 ${\begin{array}{l} a x + 2 y = 3 \\ 2 x + a y = 2 \end{array}$ 无解，则实数 $a =$ ．

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5. 从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为.

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6. 若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{1}{3}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} =$ .

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7. 二项式 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{15}$ 展开式中的常数项是．

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8. 小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为．

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9. 如图， $F$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的右焦点，过 $F$ 作直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 切于点 $M$ ，与双曲线交于点 $P$ ，且 $M$ 恰为线段 $P F$ 的中点，则双曲线的渐近线方程是.

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10. 若函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 的值域为 $[- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，则ω的取值范围是

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11. 若分段函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 s i n 2 x & x \leq 0 \\ 2^{x} - 3 & x > 0 \end{array}$ ，将函数 $y = | f (x) - f (a) |$ ， $x \in [m ， n]$ 的最大值记作 $Z_{a} [m ， n]$ ，那么当 $- 2 \leq m \leq 2$ 时， $Z_{2} [m ， m + 4]$ 的取值范围是；

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12. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，若存在不同的实数 $λ_{1} ， λ_{2} (λ_{1} λ_{2} \neq 0)$ ，使得 $\vec{c_{i}} = λ_{i} \vec{a} + 3 λ_{i} \vec{b}$ ，且 $(\vec{c_{i}} - \vec{a}) \cdot (\vec{c_{i}} - \vec{b}) = 0 (i = 1 ， 2) ，$ 则 $| \vec{c_{1}} - \vec{c_{2}} |$ 的取值范围是

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二、单选题

13. 设 $x > 0$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $x + \frac{a}{x} \geq 2$ 恒成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 已知 $0 > a > b$ ，若 $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{a^{n + 1} - b^{n + 2}}{a^{n} - b^{n}} = 25$ ，则（）

A、 $a = - 25$ B、 $a = - 5$ C、 $b = - 25$ D、b=-5

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15. 已知函数 $f (x) = a s i n x - b c o s x$ （ $a$ 、 $b$ 为常数 $a \neq 0$ ， $x \in$ R）在 $x = \frac{π}{4}$ 处取得最小值，则函数 $f (\frac{3 π}{4} - x)$ 是（）

A、偶函数，且图象关于点 $(π ， 0)$ 对称 B、偶函数，且图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 对称 C、奇函数，且图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 对称 D、奇函数，且图象关于点 $(π ， 0)$ 对称

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16. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {c_{n}}$ ，以下两个命题：①若 ${a_{n} + b_{n}} ， {b_{n} + c_{n}} ， {a_{n} + c_{n}}$ 都是递增数列，则 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {c_{n}}$ 都是递增数列；②若 ${a_{n} + b_{n}} ， {b_{n} + c_{n}} ， {a_{n} + c_{n}}$ 都是等差数列，则 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {c_{n}}$ 都是等差数列，下列判断正确的是（）

A、①②都是真命题 B、①②都是假命题 C、①是真命题， ②是假命题 D、①是假命题， ②是真命题

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三、解答题

17. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 中.

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $V_{P - A B C D} = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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18. 已知 $f (x) = \sqrt{3} s i n w x + 3 c o s w x (w > 0)$

(1)、设 $y = f (x + θ) (0 < θ < \frac{π}{2})$ 是周期为 $π$ 的偶函数，求 $w ， θ$ ；

(2)、若 $g (x) = f (3 x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{3})$ 上是增函数，求 $w$ 的最大值；并求此时 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 的取值范围.

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19. 如图， $O M$ ， $O N$ 是某景区的两条道路（宽度忽略不计， $O M$ 为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路 $O M$ 上一游客休息区，已知 $\tan ∠ M O N = - 3$ ， $O A = 6$ （百米），Q到直线 $O M$ ， $O N$ 的距离分别为3（百米）， $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$ （百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路 $O N$ 于点B，并在B处修建一游客休息区.

(1)、求有轨观光直路 $A B$ 的长；

(2)、已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时， $r = 2 \sqrt{a t}$ （百米）（ $0 \leq t \leq 9$ ， $0 < a < 1$ ）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道 $B A$ 以 $\sqrt{2}$ （百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.

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20. 定义符号函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1 & x \geq 0 \\ - 1 & x < 0 \end{array}$ ，已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x (x^{2} - a) \cdot s g n (x^{2} - a)$ .

(1)、已知 $f (1) \leq f (0)$ ，求实数 $a$ 的取值集合；

(2)、当 $a = 1$ 时， $g (x) = f (x) - k x$ 在区间 $(- 2 ， 0)$ 上有唯一零点，求 $k$ 的取值集合；

(3)、已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值为 $f (1)$ ，求正实数 $a$ 的取值集合；

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21. 设 $m$ 为正整数，各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 定义如下： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ， a_{n} 为偶数， \\ a_{n} + m ， a_{n} 为奇数 . \end{array}$

(1)、若 $m = 5$ ，写出 $a_{8}$ ， $a_{9}$ ， $a_{10}$ ；

(2)、求证：数列 ${a_{n}}$ 单调递增的充要条件是 $m$ 为偶数；

(3)、若 $m$ 为奇数，是否存在 $n > 1$ 满足 $a_{n} = 1$ ？请说明理由．

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