陕西省西安市阎高蓝周临鄠六区2022届高三下学期理数三模试卷

试卷更新日期：2022-05-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且 $M \subseteq (∁_{U} N)$ ，则（）

A、 $M ∩ N = \emptyset$ B、 $M \subseteq N$ C、 $N \subseteq M$ D、 $N ∪ (∁_{U} M) = U$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = 1 + i$ ，则 $| z | - \frac{1}{\bar{z}}$ 的实部与虚部之差为（）

A、1 B、0 C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”，15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为（）

A、12 B、8 C、5 D、9

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4. 短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m．若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取 $17 π = 53.42$ ）（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. “2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈，类似这样的对称性在二十一世纪，我们还能再遇到（）

A、6次 B、7次 C、8次 D、9次

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6. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线过点（2，1），则此双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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7. 斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位： $c m$ ），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（）

A、 $(800 + 100 \sqrt{5}) π$ B、 $(900 + 100 \sqrt{5}) π$ C、1100π D、1000π

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 10 ， 10]$ 上的奇函数，且 $f (x) = f (4 - x)$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数至少为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆 $O_{2}$ 、圆 $O_{1}$ 上的点，若 $A B = 2$ ，则异面直线 $O_{1} B$ ， $O_{2} A$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 12 0^{∘}$ ， $| A B | = \sqrt{2}$ ， $∠ A$ 的角平分线 $A D$ 的长为 $\sqrt{3}$ ，则 $| A C | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 已知随机变量 $X ~ N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (X < 0) = P (X \geq a)$ ，则二项式的展开式 ${(x + \frac{a}{\sqrt{x}})}^{10}$ 中有理项的个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12. 如图，在直角坐标平面内有一个边长为 $a$ ，中心在原点 $O$ 的正六边形 $A B C D E F$ ， $A B / / x$ 轴，直线 $l$ ： $y = k x + b$ （ $k$ 为常数）与正六边形交于 $M$ 、 $N$ 两点，记 $△ O M N$ 的面积为 $S$ ，则函数 $S = f (b)$ 的奇偶性为（）

A、偶函数 B、奇函数 C、非奇非偶函数 D、奇偶性与 $k$ 有关

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二、填空题

13. 在菱形ABCD中，若 $A C = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C A}$ 等于.

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14. 橘生淮南则为橘，生于准北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量 $ξ$ （单位：g）近似服从正态分布 $N (90 ， σ^{2})$ ，且 $P (86 < ξ \leq 90) = 0.2$ ，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于 $94 g$ 的橘果个数为.

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15. 写出一个使等式 $\frac{s i n α}{s i n (α + \frac{π}{6})} + \frac{c o s α}{c o s (α + \frac{π}{6})} = 2$ 成立的 $α$ 的值为．

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16. 已知椭圆长轴 $A B$ 的长为4，N为椭圆上一点，满足 $| N A | = 1$ ， $∠ N A B = 60 °$ ，则椭圆的离心率为.

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三、解答题

17. 设公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 6$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\sum_{k = 1}^{100} a_{k}^{2} \cdot s i n (a_{k} \cdot \frac{π}{2})$ 的值．

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18. 新生儿的某种疾病要接种三次疫苗进行免疫，假设三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等．为了解新生儿该疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10 $μ g$ ∕次剂量组与20 $μ g$ ∕次剂量组，接种三次后的试验结果如下：
单位：人
接种方案
结果
合计
接种成功
接种不成功
10 $μ g$ ∕次剂量组
900
100
1000
20 $μ g$ ∕次剂量组
973
27
1000
合计
1873
127
2000

(1)、根据数据说明哪种接种方案效果好，并依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断能否认为该疫苗是否接种成功与接种方案有关；

(2)、以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人此剂量接种三次的成功人数比只接种一次的成功人数平均提高多少？

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / /$ 平面 $P C D$ ，平面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $B C = 2$ ， $A B = C D = 4$ ， $B C ⊥ C D$ .

(1)、证明： $C D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $F$ 为侧面 $P C D$ 内到 $C D$ 距离为 $1$ 的一点，且 $C F = \sqrt{2}$ ， $P C = P D = \sqrt{13}$ ，求 $B F$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $G (4 ， t) (t > 0)$ 到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、当 $\vec{N A} \cdot \vec{N B} = 1$ 时，求证：直线AB过定点．

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21. 已知函数 $f (x) = a x - 1 - l n x$ （ $a \in R$ ）．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $x > y > e - 1$ 时，证明不等式 $e^{x} l n (1 + y) > e^{y} l n (1 + x)$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = | s i n θ | + | c o s θ |$ .

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、求曲线C围成的图形的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = | 4 x - 3 | + | 4 x + 5 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 10$ 的解集；

(2)、设m， $n \in R_{+}$ ，且 $m + 2 n = 2$ ，求证： $2^{\sqrt{m + 1}} \cdot 2^{\sqrt{2 n + 1}} < f (x)$ 恒成立．

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单位：人
接种方案	结果		合计
接种方案	接种成功	接种不成功	合计
10 $μ g$ ∕次剂量组	900	100	1000
20 $μ g$ ∕次剂量组	973	27	1000
合计	1873	127	2000