江西省抚州市宜黄县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-05-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{10} ÷ a^{2} = a^{8}$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ C、 $a \cdot a^{2} = a^{2}$ D、 $2 a^{2} + 3 a^{2} = 5 a^{4}$

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2. 如图，在所标识的角中，同位角是（）

A、∠1和∠2 B、∠1和∠3 C、∠1和∠4 D、∠2和∠3

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3. 下列说法正确的是（）

A、同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 C、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行 D、一条直线有可能同时与两条相交的直线平行

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4. 某种蔬菜的价格随月份变化如下表所示，根据表中信息，下列结论错误的是（）
月份 $x$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
价格 $y$ （元/千克）
5.00
5.50
5.00
4.80
2.00
1.50
0.90
1.00
1.50
3.00
3.30
3.50

A、2～7月份这种蔬菜的价格一直在下跌 B、表中 $y$ 是自变量， $x$ 是因变量 C、7月份这种蔬菜的价格最低，最低为0.90元/千克 D、7～12月份这种蔬菜的价格一直在上涨

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5. 长方形的周长为 $12 c m$ ，其中一边的长为 $x (0 < x < 6) c m$ ，面积为 $y c m^{2}$ ，则该长方形中 $y$ 与 $x$ 的关系式是（）

A、 $y = (12 - x)^{2}$ B、 $y = (6 - x)^{2}$ C、 $y = x (12 - x)$ D、 $y = x (6 - x)$

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6. $A$ 、 $B$ 两地相距 $50 k m$ ，甲、乙两人都从 $A$ 地去 $B$ 地，如图， $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别表示甲、乙两人所走路程s（ $k m$ ）与时间t（h）之间的关系．给出下列说法：①甲的速度是6 $k m$ / h；②乙出发3h后追上甲；③乙出发2.5 h后与甲相距2km；④甲、乙两人同时到达 $B$ 地．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

7. 计算：（3x）²= ．

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8. 黄金是自然界中延展性最好的金属．最薄的金箔的厚度为0.000000091m，数据0.000000091用科学记数法表示为．

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9. 如图，直线 $a$ //直线 $b$ ，一个含 $30 °$ 角的直角三角尺的两个锐角顶点分别落在直线 $a$ 、 $b$ 上．若 $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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10. 如图， $A C ⊥ B C$ ， $C D ⊥ A B$ ，则表示点 $A$ 到直线 $C D$ 所在直线的距离为线段的长度．

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11. 已知 $a^{m} = 3$ ， $a^{n} = 2$ ，则 $a^{m + 3 n}$ 的值为．

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12. 将直角三角板 $A B C$ 按如图所示的位置放置， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，直线 $C E$ // $A B$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，在直线 $C E$ 上确定一点 $D$ ，满足 $∠ B D C = 30 °$ ，则 $∠ E B D =$ ．

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13. 根据题意结合图形填空．
如图， $C D$ // $A B$ ， $∠ D C B = 70 °$ ， $∠ C B F = 20 °$ ， $∠ E F B = 130 °$ ，试说明 $E F$ // $C D$ ．
解：因为 $C D$ // $A B$ ，（已知）
所以                  ▲                   $= ∠ D C B = 70 °$ ，（       ）
所以 $∠ A B F = ∠ C B A - ∠ C B F = 70 ° - 20 ° = 50 °$ ，
所以 $∠ E F B + ∠ A B F = 130 ° + 50 ° = 180 °$ ，
所以 $E F$ //                  ▲                  .（      ）
又因为 $C D$ // $A B$ ，（已知）
所以 $E F$ // $C D$ ．（      ）

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三、解答题

14. 计算：

(1)、 $(- 1)^{2022} + (\frac{1}{2})^{- 2} + (5 - π)^{0}$ ．

(2)、 $x (2 x + y) - (4 x^{3} y - 8 x y^{3}) \div 2 x y$ ．

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15. 小明在化简代数式 $(x + 3)^{2} - (x + 2) (x - 3)$ 时出现了不符合题意，他的解答步骤如下：
解：原式 $= x^{2} + 9 - (x^{2} - 3 x + 2 x - 6)$ ………………………………第一步
$= x^{2} + 9 - x^{2} + x + 6$ ……………………………………………………第二步
$= x + 15$ ……………………………………………………………………第三步

(1)、小明的解答过程是从第步开始出错的．

(2)、写出正确的解答过程，再求出当 $x = 2$ 时，代数式的值．

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16. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $O F$ 平分 $∠ B O E$ ，且 $O F ⊥ C D$ ，垂足为 $O$ ．若 $∠ B O E = 130 °$ ，求 $∠ A O D$ 的度数．

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17. 如图，已知∠α、∠β，请用直尺和圆规求作∠MON，使得∠MON=∠a−∠β．（不写作法，保留作图痕迹）

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18. 小贤从超市帮妈妈买了一袋纸杯，如图，他把纸杯整齐地叠放在一起（杯沿厚度不计），请根据图中信息解决下列问题．

(1)、计算出一个杯子的高度．

(2)、小贤把 $n$ 个纸杯整齐地叠放在一起时，其高度h与n的关系式．（直接写出结果）

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19. 对于任意有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，我们定义运算： $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ．例如： $| \begin{array}{l} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} | = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ ．

(1)、计算： $| \begin{array}{l} - 2 & 6 \\ 4 & 3 \end{array} | =$ ．

(2)、按这个规定请你计算：当 $x^{2} - 6 x = 5$ 时，求 $| \begin{array}{l} x + 1 & 2 x \\ x - 3 & x - 1 \end{array} |$ 的值．

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20. 如图1所示的是某自助餐厅的饮料供应容器，在容器的底端有一个控制阀，图2是顾客装饮料的杯子．

(1)、若图1的饮料供应容器装满饮料，当a=0.8分米，h=1分米，H=4分米时，问用图2所示的杯子装满饮料，一共可装多少杯？

(2)、小明在计算时错把“ $a = 0.8$ ”看成了“ $a = 8$ ”，计算第（1）问的问题时，计算结果却一样，你能说明为什么吗？

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21. 疫情防控常态化后，防控部门根据疫情的变化，积极调配防疫资源．为了调配医疗物资，甲、乙两辆汽车分别从 $A$ 、 $B$ 两个城市同时出发，沿同一条公路匀速 $(v_{甲} > v_{乙})$ 行驶去往对方城市．在途中的服务区两车相遇，休整了2h后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离s（ $k m$ ）和所用时间t（h）之间的关系图象如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题．

(1)、图中的自变量是，因变量是．

(2)、 $A$ 、 $B$ 两地相距 $k m$ ．

(3)、根据图中给出的数据，计算 $a$ 的值．

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22. 数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．下面是用边长为 $a$ 或 $b$ 的正方形硬纸片和长为 $a$ 、宽为 $b$ 的长方形硬纸片若干块，不同组合摆成的图形，请你利用数形结合的思想解答下列问题：

(1)、如图1，请用两个不同的代数式（含字母 $a$ 、 $b$ ）表示图中阴影部分的面积．
代数式1：．代数式2：．

(2)、利用面积关系写出图1中蕴含的一个代数恒等式：．

(3)、若 $a + b = 10$ ， $a b = 16$ ，求图2中阴影部分的面积．

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23. “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路沟通了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了以下问题：
如图1， $A B$ // $C D$ ，点 $E$ 在直线 $A B$ 、 $C D$ 之间．求证： $∠ D E B + ∠ B - ∠ D = 180 °$ ．
小贤的解法如下：
解：如图1，过点 $E$ 作EF∥AB．
因为 $A B ∥ C D$ ，所以 $E F ∥ C D$ ．
因为 $A B ∥ E F$ ，所以 $∠ B + ∠ B E F = 180 °$ ．
因为 $E F ∥ C D$ ，所以 $∠ D = ∠ D E F$ （根据1），
所以 $∠ D E B = ∠ B + ∠ B E F - ∠ B + ∠ D E F = 180 ° - ∠ B + ∠ D$ ，
即 $∠ D E B + ∠ B - ∠ D = 180 °$ ．

(1)、材料中的根据1是指．

(2)、若把图1变为图2，其中 $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 125 °$ ， $∠ P Q C = 65 °$ ， $∠ C = 145 °$ ，求 $∠ B P Q$ 的度数．

(3)、如图3， $A B ∥ C D$ ， $M$ 是 $∠ C D E$ 内部一点，且 $∠ C D M = \frac{1}{4} ∠ C D E$ ，延长 $M D$ 与 $B N$ 交于点 $N$ ， $∠ N B M = \frac{1}{2} ∠ A B E$ ，且 $B N ∥ D E$ ．已知 $∠ C D M = α (0 ° < α < 11 °)$ ，则 $∠ N M B$ 的度数为（用含 $α$ 的式子表示）．

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月份 $x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
价格 $y$ （元/千克）	5.00	5.50	5.00	4.80	2.00	1.50	0.90	1.00	1.50	3.00	3.30	3.50