北京市海淀区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-05-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{5}$ C、1， $\sqrt{2}$ ， 3 D、5，12，13

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2. 下列等式，正确的是（）

A、 $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15} = \sqrt{- 3} \times \sqrt{- 5}$ C、 $\sqrt{12} + \sqrt{3} = \sqrt{15}$ D、 $\sqrt{9} = \pm 3$

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3. 如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=7，∠ABC的平分线交AD于点E ，则ED等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 如图，CD是 $△ A B C$ 的中线，E，F分别是AC，DC的中点， $E F = 1$ ，则BD的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，在正方形ABCD中，等边 $△ A E F$ 的顶点E，F分别在边BC和CD上，则 $∠ A E B$ 等于（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（）

A、3和4之间 B、4和5之间 C、5和6之间 D、6和7之间

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作 $A F ⊥ D E$ ，垂足为F，将 $△ A B C$ 分割后拼接成矩形BCHG，若 $D E = 4$ ， $A F = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、8 B、10 C、14 D、16

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8. 我校举行跳绳比赛，甲、乙两班参赛同学每分钟跳绳个数统计结果如下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
40
129
161
115
乙
40
131
90
115
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生平均成绩相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分跳绳个数 $\geq 130$ 为优秀）；
③甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论正确的是（）

A、①②③ B、①② C、①③ D、②③

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二、填空题

9. 若 $\sqrt{x + 3}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围为．

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10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．

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11. 两直角边分别为6和8的直角三角形，斜边上的中线的长是．

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12.
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB= ．

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13.
如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为．

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14. 《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长 $3$ 尺），牵着绳索退行，在距木柱底部 $8$ 尺处时而绳索用尽．设绳索长为 $x$ 尺，则根据题意可列方程为．

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ A = 45^{°}$ ，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M ， N$ 两点，直线 $M N$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，连接 $C E$ ，则 $C E$ 的长为.

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16. 在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为▱ABCD同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO，MO的延长线分别与▱ABCD的另一边交于点F，N．
下面四个推断：
①四边形ABFM是平行四边形；
②四边形ENFM是平行四边形；
③若▱ABCD是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；
④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．
其中，正确的有．

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三、解答题

17. 计算： $2^{- 1} + \sqrt{8} - | - 2 \sqrt{2} | + (π + \sqrt{2})^{0}$

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18. 如图，在 $△ A B D$ 中， $A C ⊥ B D$ ， $B C = 8$ ， $A B = 10$ ， $∠ D = 60 °$ ， F为AD的中点，求AC，CF的长．

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19. 已知 $x = \sqrt{3} + 1 ，求 x^{2} - 2 x - 3 的值 .$

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20. 如图，四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形，求证： $B E = D F$ ．

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21. 尺规作图：如图，已知线段a，b．
求作：菱形ABCD，使其一条对角线的长等于线段a的长，边长等于线段b的长．
作法：①作直线m，在m上截取线段 $A C = a$ ；
②作线段AC的垂直平分线EF，交线段AC于点O；
③以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的菱形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵EF垂直平分AC，
∴AB= ▲ ， ▲ = ▲ ，（）
∵ $A B = A D$ ，
$∴ A B = A D = B C = B D$ ，
∴四边形ABCD是菱形．（）

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22. 从2020年5月1日开始，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式实施．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解情况，小清从我校初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息：
a.30名同学测试成绩的统计图如下：
b.30名同学测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： $40 ⩽ x < 50$ ， $50 ⩽ x < 60$ ， $60 ⩽ x < 70$ ， $70 ⩽ x < 80$ ， $80 ⩽ x < 90$ ， $90 ⩽ x ⩽ 100$ ）：
c．测试成绩在 $70 ⩽ x < 80$ 这一组的分别是：
73 74 77 75 70 74 73 78
d．小华的知识测试成绩为85分．
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、小华的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第；

(2)、抽取的30名同学的成绩的中位数为；

(3)、序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为 $s_{1}^{2}$ ；序号为11-20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为 $s_{2}^{2}$ ，序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为 $s_{3}^{2}$ ，直接写出 $s_{1}^{2}$ ， $s_{1}^{2}$ ， $s_{3}^{2}$ 的大小关系；

(4)、成绩80分及以上记为优秀，若我校初中三个年级840名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为人．

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23. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ A D$ ，作 $∠ E C A = ∠ A C D$ ， CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE．

(1)、求证：四边形ACBE是矩形；

(2)、连接OD．若 $A B = 4$ ， $∠ A C D = 60 °$ ，求OD的长．

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24. 观察猜想

(1)、观察猜想：① $2 + 1 > 2 \sqrt{1 \times 2}$ ；② $3 + \frac{1}{3} > 2 \sqrt{3 \times \frac{1}{3}}$ ；③ $8 + 8 = 2 \sqrt{8 \times 8}$ ．
通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想： $a + b$ $2 \sqrt{a b}$ ；

(2)、验证结论：我们知道可以利用几何图形对一个等式进行验证，请你利用与下图全等的四个矩形，构造几何图形对你的猜想进行验证．（要求：画出构造的图形，写出验证过程）

(3)、结论应用：如图，某同学在做一个面积为800cm² ，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要m．

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25. 如图，在正方形ABCD外有一点P，满足 $∠ A P B = 45 °$ ，以AP，AD为邻边作 $▱ A P Q D$ ．

(1)、如图1，根据题目要求补全图形；

(2)、连接QC，求 $∠ D Q C$ 的度数；

(3)、连接AQ，猜线段AQ，PQ和PB之间的数量关系并证明．

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26. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1．线段 $A C = \sqrt{m^{2} + n^{2}}$ （m，n均为正整数），点A，C在格点上，以AC为对角线画出正方形ABCD（B，D落在网格内）．

(1)、当m= ， n= 时（给出一组值即可），B，D在格点上，在网格中画出正方形ABCD；

(2)、当m= ， n= 时（给出一组值即可），B，D均不在格点上，在网格中画出正方形ABCD（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

(3)、当m，n满足时，B，D一定在格点上（网格纸足够用）．

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27. 对于平面直角坐标系xOy中的图形 $W_{1}$ 和图形 $W_{2}$ 给出如下定义：在图形 $W_{1}$ 上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形 $W_{2}$ 上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得 $A M = 2 B N$ ．则称图形 $W_{1}$ 和图形 $W_{2}$ 满足限距关系．

(1)、如图，点 $C (1 ， 0)$ ， $D (- 1 ， 0)$ ， $E (0 ， \sqrt{3})$ ，点F在CE上运动（点F可以与C，E重合），连接OF，DF．
①线段OF的最小值为，最大值为；线段DF的取值范围是；
②在点O，D中，点与线段CE满足限距关系；

(2)、如图，正方形ABMN的边长为2，直线PQ分别于x轴，y轴交于点Q，P，且与x轴正方向的夹角始终是 $30 °$ ，若线段PQ与正方形ABMN满足限距关系，求点P的纵坐标 $a (a > 0)$ 的取值范围；

(3)、如图，正方形ABMN的顶点均在坐标轴上， $A (0 ， b) (b > 0)$ ， G，H是正方形边上两点，分别以G，H为中心作边长为1的正方形，与正方形ABMN的四边分别平行，若对于任意的点G，H，以G，H为中心的正方形都满足限距关系，直接写出b的取值范围．

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班级	参加人数	中位数	方差	平均数
甲	40	129	161	115
乙	40	131	90	115