山东省临沂市莒南县2022年中考一模数学试题

试卷更新日期：2022-05-26 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数 $- π$ 、 $- 2$ 、 $| - 3 |$ 、 ${(- 1)}^{0}$ 中，相反数最小的是（）．

A、 $- π$ B、 $- 2$ C、 $| - 3 |$ D、 ${(- 1)}^{0}$

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2. 下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2021年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从8.32万亿元增加到11.4亿亿元，稳居世界第二，11.4亿亿用科学记数法表示为（）．

A、 $1.14 \times 1 0^{18}$ B、 $1.14 \times 1 0^{17}$ C、 $11.4 \times 1 0^{16}$ D、 $1.14 \times 1 0^{15}$

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4. 下列正确的个数是（）．
① $- 3 (a - 1) = 3 - 3 a$ ；② ${(\frac{1}{3} a^{3})}^{2} = \frac{1}{9} a^{2}$ ；
③ $a^{2} + 2 a^{3} = 3 a^{5}$ ；④ $2^{- 3} = \frac{1}{6}$ ；
⑤ $x^{2} + 1 = {(x + 1)}^{2}$ ；⑥ $\sqrt{8} - 2 \sqrt{2} = 0$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC=1，OA=OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）．

A、﹣a-1 B、﹣a+1 C、a+1 D、a﹣1

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6. 在2019年世界军人运动会中，我国军人运动员屡创佳绩，特别是在射击赛场获得很多金牌，如图是某项射击项目的射击靶示意图，其中每环的宽度与中心圆的半径相等，某运动员朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10、9、8、7的概率分别为 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、 $p_{3}$ 、 $p_{4}$ ，则下列选项正确的是（）．

A、 $p_{1} = p_{2}$ B、 $p_{2} + p_{4} = 2 p_{3}$ C、 $p_{4} = 0.5$ D、 $p_{1} + p_{2} = p_{3}$

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7. 若关于x的方程 $\frac{a x}{1 + x} - 1 = \frac{3}{x + 1}$ 的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是（）

A、6 B、0 C、1 D、9

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m - 3) x + m^{2} = 0$ 的两个不相等的实数根 $α$ ， $β$ 满足 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = 1$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-3 B、1 C、-3 或1 D、2

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9. 如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（）

A、800π+1200 B、160π+1700 C、3200π+1200 D、800π+3000

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10. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 1$ ．如图所示，将 $△ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．则图中阴影部分面积为（）．

A、 $\frac{π}{2} - \sqrt{3}$ B、 $\frac{π - \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{π - \sqrt{3}}{2}$ D、 $π - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为 $(- 4 ， 0)$ ，点B在y轴上，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（）．

A、 $y = \frac{6}{x}$ B、 $y = \frac{5}{x}$ C、 $y = \frac{4}{x}$ D、 $y = \frac{3}{x}$

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为直径， $A D = C D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $A C$ 交 $D E$ 于点 $F$ ．若 $\sin ∠ C A B = \frac{3}{5}$ ， $D F = 5$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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二、填空题

13. 已知 $m = 2 n + 1$ ，那么 $(m - n) (m - 3 n) + (m - 2 n) n^{2}$ 的值是．

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14. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．

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15. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时， $A B = 3 m$ ，已知木箱高 $B E = \sqrt{3} m$ ，斜面坡角为 $30 °$ ，则木箱端点 $E$ 距地面 $A C$ 的高度 $E F$ 为 $m$ ．

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16. 阅读理解：如图1， $⊙ O$ 与直线a，b都相切，不论 $⊙ O$ 如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变（等于 $⊙ O$ 的半径），我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进．据说，古埃及就是利用这种方法将巨石推到金字塔顶的．
拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”．如图4，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c，d之间的距离等于4cm，则莱洛三角形的周长为cm．

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三、解答题

17.

(1)、 ${(\frac{1}{2})}^{- 2} \times t a n 45 ° + | \sqrt{{(- 3)}^{2}} - \sqrt{2} | - \sqrt[3]{{(- 8)}^{2}}$ ．

(2)、 $(\frac{2}{a - 1} - 1) \div \frac{a - 3}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，其中a是不等式组 ${\begin{array}{l} a - 2 \geq 2 - a \\ 2 a - 1 < a + 3 \end{array}$ 的最小整数解．

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18. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)、这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；

(2)、将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是▲ ”；

(3)、在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.

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19. 小明根据学习函数的经验，对 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图像与性质进行了研究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)、函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的自变量x的取值范围．

(2)、下表列出y与x的几组对应值，请写出m、n的值，m＝， n＝．
x
…
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$- \frac{1}{2}$
$- \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
1
2
3
4
…
y
…
$- \frac{10}{3}$
$- \frac{5}{2}$
$- 2$
$- \frac{5}{2}$
$- \frac{10}{3}$
m
$\frac{5}{2}$
2
$\frac{5}{2}$
n
$\frac{17}{4}$
…

(3)、如图，在平面直角坐标系xOy中，指出以上列表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．

(4)、结合函数图象，完成：
①当 $y = - \frac{17}{4}$ 时，x＝．
②写出该函数的一条性质．
③若方程 $x + \frac{1}{x} = t$ 有两个不相等的实数根，则t的取值范围是．

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20. 某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知小明和小军的距离BD＝6 m，小明的身高AB＝1.5 m，小军的身高CD＝1.75 m，求旗杆的高EF．（结果精确到0.1，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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21. 如图，抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

(1)、求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)、判断△ABC的形状，证明你的结论；

(3)、点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

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22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．

(1)、求证：AB是⊙O的切线．

(2)、已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD= $\frac{1}{2}$ ，求 $\frac{A E}{A C}$ 的值．

(3)、在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

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23. 知识再现：已知，如图1，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，且 $∠ M A N = 45 °$ ，延长CB至G使 $B G = D N$ ，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明 $M N = B M + D N$ ．

(1)、知识探究：如图1中，作 $A H ⊥ M N$ ，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并进行证明．

(2)、知识运用：如图2，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点， $∠ F E C = 2 ∠ B A E$ ， $A B = 24$ ，求DF的长．

(3)、知识拓展：已知 $∠ B A C = 45 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D，且 $B D = 2$ ， $A D = 6$ ，求CD的长．

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