山东省临沂市费县2022年中考数学一模试题

试卷更新日期：2022-05-26 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $| - 2022 |$ =（）

A、-2022 B、 $\frac{1}{2022}$ C、2022 D、 $\frac{1}{- 2022}$

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2. 如图所示的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $3 m n - 2 m n = 1$ B、 ${(m^{2} n^{3})}^{2} = m^{4} n^{5}$ C、 ${(a^{3} b)}^{- 2} = a^{- 6} b^{- 2}$ D、 $(m + n)^{2} = m^{2} + n^{2}$

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4. 用配方法解方程 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 时，配方结果正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 3$

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5. 估计 $(4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}) \times \sqrt{\frac{1}{3}}$ 的值应在（）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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6. 将一副三角尺如图摆放，点E在 $A C$ 上，点D在 $B C$ 的延长线上， $E F // B C ， ∠ B = ∠ E D F = 90 ° ， ∠ A = 45 ° ， ∠ F = 60 °$ ，则 $∠ C E D$ 的度数是（）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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7. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 化简 $(1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ 的结果是（）

A、 $a + 1$ B、 $\frac{a + 1}{a}$ C、 $\frac{a - 1}{a}$ D、 $\frac{a + 1}{a^{2}}$

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9. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱.问人数、物价各多少？设人数为 $x$ 人，物价为 $y$ 钱，下列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 8 x - 3 \\ y = 7 x + 4 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = 8 x + 3 \\ y = 7 x + 4 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = 8 x - 3 \\ y = 7 x - 4 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = 8 x + 3 \\ y = 7 x - 4 \end{array}$

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10. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图， $A C$ ， $B D$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点C，D，延长 $A C$ ， $B D$ 交于点P．若 $∠ P = 120 ° ， ⊙ O$ 的半径为 $5 c m$ ，则图中弧 $C D$ 的长为____ $c m$ ．（结果保留 $π$ ）

A、 $\frac{5}{3} π$ B、 $\frac{5}{6} π$ C、 $\frac{25}{3} π$ D、 $\frac{25}{6} π$

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ，点O是 $A B$ 的三等分点，半圆O与 $A C$ 相切，M，N分别是 $B C$ 与半圆弧上的动点，则 $M N$ 的最小值和最大值之和是（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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12. 如图，点A，B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上， $A C ⊥ x$ 轴于点C， $B D ⊥ x$ 轴于点D， $B E ⊥ y$ 轴于点E，连结 $A E$ ．若 $O E = 2 ， 3 O C = 2 O D ， A C = A E$ ，则k的值为（）

A、8 B、9 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 分解因式： $a x^{2} + 2 a^{2} x + a^{3}$ =.

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14. 分式方程 $\frac{2 - x}{x - 3} + \frac{1}{3 - x} = 1$ 的解为．

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15. 如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为 $120 °$ 的 $\overset{⌢}{A B}$ 多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒 $\frac{2}{3} π$ 米的速度沿曲线向右运动，则在第2022秒时点P的坐标为．

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16. 如图，正方形中， $A B = 2$ ，连接 $A C ， ∠ A C D$ 的平分线交 $A D$ 于点E，在 $A B$ 上截取 $A F = D E$ ，连接 $D F$ ，分别交 $C E ， A C$ 于点G，H，点P是线段 $G C$ 上的动点， $P Q ⊥ A C$ 于点Q，连接 $P H$ ．下列结论：① $C E ⊥ D F$ ；② $D E + D C = A C$ ；③ $E A = \sqrt{2} A H$ ；④ $P H + P Q$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．其中所有正确结论的序号是

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三、解答题

17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 (2 x - 1) \leq 3 x + 1 ① \\ 2 x > \frac{x - 3}{2} ② \end{array}$ ，并写出它的所有整数解．

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18. 张明是某社区管理员，他在一楼房 $B C$ 前点A处垂直升空一无人机巡查小区，当无人机升高到离地面100米的点D处时，以5米每秒的速度沿 $A B$ 方向飞行，已知点A观察楼顶C的仰角是 $36 °$ ，问自D点飞行多少秒时无人机刚好离开张明的视线？参考数据： $s i n 36 ° \approx 0.59 ， c o s 36 ° \approx 0.81 ， t a n 36 ° \approx 0.73$

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19. 为了解我县A，B两个乡镇板材企业第一季度的收入情况，从这两个乡镇的板材企业中，各随机抽取了25家板材企业，获得了它们第一季度收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
⑴A乡镇板材企业第一季度收入的数据的频数分布直方图如下图（数据分成5组： $6 \leq x < 8 ， 8 \leq x < 10 ， 10 \leq x < 12 ， 12 \leq x < 14 ， 14 \leq x \leq 16$ ）：
⑵A乡镇板材企业第一季度收入的数据在 $10 \leq x < 12$ 这一组的是：10.0；10.0；10.1；10.9；11.4；11.5；11.6；11.8
⑶A，B两个乡镇板材企业第一季度收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数
中位数
A乡镇
10.8
a
B乡镇
11.0
11.5
根据以上信息，回答下列问题：
①写出表中a的值：
②在A乡镇抽取的板材企业，记第一季度收入高于它们的平均收入的板材企业的个数为m．在B乡镇抽取的板材企业，记第一季度收入高于它们的平均收入的板材企业的个数为n．比较m，n的大小，并说明理由；
③若B乡镇共有100家板材企业，估计B乡镇的板材企业第一季度的总收入（直接写出结果）．

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20. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，弦 $A E$ 的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D， $∠ C A D = 36 °$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求 $∠ B$ 的度数；

(2)、若 $A B = 3$ ，求 $\overset{⌢}{A E}$ 的长．

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21. 为了探索函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法，列表：
x
…
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
1
2
3
4
5
…
y
…
$\frac{17}{4}$
$\frac{10}{3}$
$\frac{5}{2}$
2
$\frac{5}{2}$
$\frac{10}{3}$
$\frac{17}{4}$
$\frac{26}{5}$
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

(1)、如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；

(2)、已知点 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2})$ 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若 $0 < x_{1} < x_{2} \leq 1$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ；若 $1 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ；（填“＞”，“＝”，“＜”）．

(3)、某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y关于x的函数关系式；
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？

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22. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点 $(2 ， 2)$ 是函数 $y = 2 x - 2$ 的图象的“等值点”．

(1)、分别判断函数 $y = \frac{5}{x} ， y = x + 2$ 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

(2)、写出函数 $y = - x^{2} + 2$ 的等值点坐标；

(3)、若函数 $y = - x^{2} + 2 (x \leq m)$ 的图象记为 $W_{1}$ ，将其沿直线 $x = m$ 翻折后的图象记为 $W_{2}$ ．当 $W_{1} ， W_{2}$ 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请写出m的取值范围．

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23. 某学习小组开展了图形旋转的探究活动：将一个矩形 $A B C D$ 绕点A顺时针旋转 $α (0 ° < α \leq 90 °)$ ，得到矩形 $A B^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ ，连结 $B D$ ．

(1)、如图1，当 $α = 90 °$ 时，点 $C^{'}$ 恰好在 $D B$ 延长线上．若 $A B = 2$ ，求 $B C$ 的长．

(2)、如图2，连结 $A C^{'}$ ，过点 $D^{'}$ 作 $D^{'} M ∥ A C^{'}$ 交 $B D$ 于点M．观察思考线段 $D^{'} M$ 与 $D M$ 数量关系并说明理由．

(3)、在（2）的条件下，射线 $D B$ 交 $A C^{'}$ 于点N（如图3），若 $∠ B D A = 30 °$ ，旋转角 $α$ 等于多少度时 $△ A M N$ 是等边三角形，请写出 $α$ 的值，并说明 $△ A M N$ 是等边三角形的理由．

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x	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	5	…
y	…	$\frac{17}{4}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{5}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{17}{4}$	$\frac{26}{5}$	…

	平均数	中位数
A乡镇	10.8	a
B乡镇	11.0	11.5