北京市房山区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-05-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为 $(2, - 1)$ ，那么点A一定在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列曲线中， $y$ 不是 $x$ 的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 °$ ，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（）

A、 $B C = C D$ B、 $A B = C D$ C、 $∠ D = 90 °$ D、 $A D = B C$

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5. 如图，平面直角坐标系中有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个点，一次函数 $y = m x + n (m > 0)$ 的图象经过点 $D$ 和另外三个点中的一个，判断下列哪一个点一定不在一次函数 $y = m x + n (m > 0)$ 的图象上（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、不确定

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A O = 3$ ， $∠ A O B = 60 °$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、6 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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7. 如图，已知正比例函数 $y_{1} = a x$ 与一次函数 $y_{2} = - \frac{1}{2} x + b$ 的图象交于点 $P$ ．下面结论正确的是（）

A、 $b < 0$ ； B、当 $x > 0$ 时， $y_{1} < 0$ ； C、当 $x < 2$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ； D、当 $x > 2$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ．

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8. 小苏和小林在一条 300 米的直道上进行慢跑，先到终点的同学会在跑道的尽头等待．在整个过程中，小苏和小林之间的距离 $y$ （单位：米）与跑步时间 $t$ （单位：秒）的对应关系如下图所示．下列命题中正确的是（）
①小苏和小林在第19秒时相遇；②小苏和小林之间的最大距离为30米；
③先到终点的同学用时58秒跑完了全程；④先到终点的同学用时50秒跑完了全程；

A、①② B、①②③ C、①②④ D、②③

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二、填空题

9. 函数 $y = \sqrt{x - 3}$ 中，自变量x的取值范围是．

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10. 已知点 $A (- 3 ， y_{1})$ 和点 $B (1 ， y_{2})$ 在一次函数 $y = 2 x + 1$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“ ＞ ”，“= ”或“＜”）

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11. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．

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12. 在 $▱$ ABCD中，∠A：∠B=2：3，则∠C的度数为°．

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13. 在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 的坐标分别是 $(0 ， 0)$ ， $(5 ， 0)$ ， $(2 ， 3)$ ，则顶点 $C$ 的坐标是．

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14. 如图 1 ，菱形纸片 $A B C D$ 的面积为 $30 c m^{2}$ ，对角线 $A C$ 的长为 $6 c m$ ，将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形按图2 所示的方法拼成正方形．则大正方形中空白小正方形的边长是 $c m$ ．

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15. 若直线 $y = k x + 3$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则这条直线与 $x$ 轴的交点坐标为．

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16. 在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ．现存在以下四个条件：① $A B ∥ C D$ ；② $A O = O C$ ；③ $A B = A D$ ；④ $A C$ 平分 $∠ D A B$ ．从中选取三个条件，可以判定四边形 $A B C D$ 为菱形．则可以选择的条件序号是（写出所有可能的情况）．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 的图像与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$

(1)、求 $A ， B$ 两点的坐标

(2)、在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(3)、根据图像回答：当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围是.

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18. 如图，浩宇的家、食堂、图书馆在同一条直线上．浩宇从家去食堂吃早餐，吃完早餐发现忘带借书卡了，回家途中遇到妈妈给他送来了借书卡，便高兴地去图书馆读书，然后回家．下图反映了这个过程中浩宇离家的距离 $y$ 与时间 $x$ 之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：

(1)、浩宇吃早餐用了分钟，浩宇与妈妈相遇时他离图书馆千米，浩宇从图书馆回家的平均速度是每分钟千米；

(2)、浩宇到达食堂之前离家的距离 $y$ 与时间 $x$ 之间的函数关系式为；

(3)、你还能从图中发现什么信息（写出一条即可）．

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19. 尺规作图：作一条线段的中点．
已知：线段 $A B$ ，如图 1 所示．
求作：点 $O$ ，使点 $O$ 是线段 $A B$ 的中点．
作法：①如图 2 ，在 $A B$ 上方选取一点 $C$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ；
②以点 $A$ 为圆心，线段 $B C$ 的长为半径作弧；再以点 $B$ 为圆心，线段 $A C$ 的长为半径作弧，两弧在 $A B$ 下方交于点 $D$ ；
③连结 $C D$ ，与线段 $A B$ 交于点 $O$ ．所以点 $O$ 就是所求作的线段 $A B$ 的中点．

(1)、请你根据作法用尺规作图将图2补全，保留作图痕迹；

(2)、补全以下证明过程：
连接 $A D$ 、 $B D$ ，
由作图可知： $B D =$             ▲             ， $A D =$             ▲             ，
∴四边形 $A C B D$ 是平行四边形（    ）
∴点 $O$ 是线段 $A B$ 中点（      ）

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20. 如图，点 $E 、 F$ 在平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上，且 $A E = C F$ ．求证： $D E = B F$ ．

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21. 如图， $▱ A B C D$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ， $C F$ 平分 $∠ B C D$ 交 $A D$ 于点 $F$ ．请你判断 $A F$ 与 $D E$ 的数量关系并证明．

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22. 已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标为4，且过点 $A (- 2 ， - 3)$ ．

(1)、求一次函数 $y = k x + b$ 的表达式；

(2)、过点 $P (0 ， n)$ 作与 $x$ 轴平行的直线，与一次函数函数 $y = k x + b$ 的图象交于点 $B$ ，当线段 $P B \geq 2$ 时，求 $n$ 的取值范围．

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23. 已知：如图， $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $O B = O C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、如图， $A M$ 为射线，过点 $C$ 作 $C P ⊥$ 射线 $A M$ 于点 $P$ ，连接 $P O$ 、 $P D$ ．请你补全图形，判断 $∠ O P D$ 与 $∠ O D P$ 的数量关系，并证明．

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24. 某蔬菜商人需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其租金和运力如下表：

租金（元/辆）
最大运力（箱/辆）
大货车
650
50
小货车
560
40

(1)、若该商人计划租用大、小货车共10辆，其中大货车 $x$ 辆，共需付租金 $y$ 元，请写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、在（1）的条件下，若这批蔬菜共460箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．

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25. 有这样一个问题：探究函数 $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 4$ 的图象与性质．思宇根据学习函数的经验，对函数 $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 4$ 的图象与性质进行了探究．下面是思宇的探究过程，请补充完整：

(1)、函数 $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 4$ 的图象与 $y$ 轴交点；（填写“有”或“无”）

(2)、下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值：
$x$
…
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$- \frac{1}{2}$
1
$\frac{3}{2}$
2
$\frac{5}{2}$
…
$y$
…
$\frac{16}{3}$
$\frac{1}{2}$
$- 2$
$- \frac{7}{4}$
$n$
$- \frac{29}{12}$
$- \frac{1}{2}$
$\frac{37}{20}$
…
则 $n$ 的值为；

(3)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，思宇描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助思宇画出该函数的大致图象；

(4)、结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：．

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26. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．一次函数 $y = k x - 2 (k \neq 0)$ 的图像与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、若点 $A$ 的坐标为 $(- 5 ， 0)$ ，则 $k$ 的值为；

(2)、在（1）的条件下， $△ A O B$ 内的整点有个（不包括三角形边上的整点）；

(3)、已知点 $P (3 ， 2)$ ，过点 $P$ 作平行于 $x$ 轴的直线，交直线 $y = k x - 2 (k \neq 0)$ 于点 $M$ ；过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线，交直线 $y = k x - 2 (k \neq 0)$ 于点 $N$ ．若 $△ P M N$ 存在且 $△ P M N$ 内（不含三角形的边）没有整点，结合图像求出 $k$ 的取值范围．

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27. 如图 1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A D$ 边上一点，连接 $B E$ ．点 $M$ 在 $C D$ 边上运动．

(1)、当点 $M$ 和点 $C$ 重合时（如图2），过点 $C$ 做 $B E$ 的垂线，垂足为点 $P$ ，交直线 $A B$ 于点 $N$ ．请直接写出 $M N$ 与 $B E$ 的数量关系；

(2)、当点 $M$ 在 $C D$ 边上运动时，过点 $M$ 做 $B E$ 的垂线，垂足为点 $P$ ，交直线 $A B$ 于点 $N$ （如图 3 ），（1）中的结论依旧成立吗？请证明；

(3)、如图 4 ，当点 $M$ 在 $C D$ 边上运动时， $N$ 为直线 $A B$ 上一点，若 $M N = B E$ ，请问是否始终能证明 $M N ⊥ B E$ ？请你说明理由．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于 $P$ ， $Q$ 两点给出如下定义：若点 $P$ 的横、纵坐标之和等于点 $Q$ 的横、纵坐标之和，则称 $P$ ， $Q$ 两点为同和点．下图中的 $P$ ， $Q$ 两点即为同和点．

(1)、已知点 $A$ 的坐标为 $(- 3 ， 1)$ ．
①在点 $R (0 ， 4)$ ， $S (- 4 ， 2)$ ， $T (3 ， - 5)$ 中，为点 $A$ 的同和点的是；
②若点 $B$ 在 $x$ 轴上，且 $A$ ， $B$ 两点为同和点，则点 $B$ 的坐标为；

(2)、直线 $y = 2 x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $M$ ， $N$ ，点 $C$ 为线段 $M N$ 上一点．
①若点 $C$ 与点 $D (- 3 ， 4)$ 为同和点，求点 $C$ 坐标；
②若存在点 $E (m ， - 3)$ 与点 $C$ 为同和点，求 $m$ 的取值范围．

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	租金（元/辆）	最大运力（箱/辆）
大货车	650	50
小货车	560	40

$x$	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	…
$y$	…	$\frac{16}{3}$	$\frac{1}{2}$	$- 2$	$- \frac{7}{4}$	$n$	$- \frac{29}{12}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{37}{20}$	…