基本不等式-三年（ 2019-2021年）高考数学真题及最新模拟题分类汇编

试卷更新日期：2022-05-24 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = | \sin x | + \frac{4}{| \sin x |}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$

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2. 已知F₁,F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点M在C 上，则|MF₁|·|MF₂|的最大值为（）

A、13 B、12 C、9 D、6

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3. 已知函数f(x)=sinx+ $\frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A、f(x)的最小值为2 B、f(x)的图像关于y轴对称 C、f(x)的图像关于直线 $x = π$ 对称 D、f(x)的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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4. 小李从甲地到乙地的平均速度为 $a$ ，从乙地到甲地的平均速度为 $b (a > b > 0)$ ，他往返甲乙两地的平均速度为 $v$ ，则（）

A、 $v = \frac{a + b}{2}$ B、 $v = \sqrt{a b}$ C、 $\sqrt{a b} < v < \frac{a + b}{2}$ D、 $b < v < \sqrt{a b}$

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5. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a + b \leq 4$ ”是“ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 已知直线 $a x + b y - 1 = 0 (a b > 0)$ 过圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2022$ 的圆心，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、6 D、9

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7. 已知点E是△ABC的中线BD上的一点（不包括端点）.若 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、9

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8. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + c$ （ $x \in R$ ）的值域为 $[0 ， + ∞)$ ，则 $\frac{1}{c} + \frac{4}{a}$ 的最小值为（）

A、-4 B、4 C、8 D、-8

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9. 已知正实数a，b满足 $a^{2} + 2 a b + 4 b^{2} = 6$ ，则a+2b的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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10. 已知正实数a、b满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{4}{b} + \frac{1}{a}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、9

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11. 已知直线 $a x + b y + c - 1 = 0 (b ， c > 0)$ 经过圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 6$ 的圆心，则 $\frac{4}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值是（）

A、2 B、8 C、4 D、9

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12. 已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ .若 $s i n^{2} C = 2 s i n^{2} A - 3 s i n^{2} B$ ，则 $t a n B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{11 \sqrt{5}}{20}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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13. 已知 $t a n α t a n β = 1$ ，则 $c o s α c o s β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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14. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $m + n = 1$ ，则下列结论正确的个数是（）
① $2^{m} + 2^{n + 1}$ 的最小值是4；② $n + \sin m < 1$ 恒成立；③ $\log_{2} m + \log_{2} n \leq - 2$ 恒成立；④ $\frac{2 m}{n^{2} + m} + \frac{n}{m^{2} + n}$ 的最大值是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 1$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15. 若 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $2 b c o s B c o s A + a c o s 2 B = 2 a$ ，则当 $t a n A$ 取最大值时， $t a n 2 B =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、4

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16. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足如下两个条件：（1）关于 $x$ 的方程 $3 x^{2} - 2 x - a b = 0$ 有两个异号的实根；（2） $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，若对于上述的一切实数 $a$ ， $b$ ，不等式 $a + 2 b > m^{2} + 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 4)$ C、 $(- \infty ， - 4] ∪ [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [4 ， + \infty)$

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17. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，前三项的和为7，若存在m， $n \in N^{*}$ 使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{11}{4}$

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18. 函数 $y = x + \frac{1}{x + 2} (x > - 2)$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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19. 在一个边长为2的等边三角形 $A B C$ 中，若点P是平面 $A B C$ (包括边界)中的任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、-1 D、 $- \frac{3}{4}$

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二、多选题

20. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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21. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 $1, 2, \dots, n$ ，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义X的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .（）

A、若n=1，则H(X)=0 B、若n=2，则H(X)随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则H(X)随着n的增大而增大 D、若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 $1, 2, \dots, m$ ，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{2 m + 1 - j} (j = 1, 2, \dots, m)$ ，则H(X)≤H(Y)

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22. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $2^{a - b} < 4$ B、 $\frac{1}{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{1}{2}$ C、 $\lg a + \lg b \leq 0$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{2}{b} \geq 4$

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23. 若 $- 1 < a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ C、 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ D、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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24. 已知 $2^{a} = 3^{b} = 6$ ，则a，b满足（）

A、 $a < b$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$ C、 $a b > 4$ D、 $a + b > 4$

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三、填空题

25. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b^{2}} + b$ 的最小值为．

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26. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{8}{a + b}$ 的最小值为．

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27. 已知 $5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1 (x, y \in R)$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是．

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28. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 4$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{x y}$ 的最小值为.

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29. 如图，已知正方形 $O A B C$ ，其中 $O A = a (a > 1)$ ，函数 $y = 3 x^{2}$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，函数 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ 交 $A B$ 于点 $Q$ ，当 $| A Q | + | C P |$ 最小时，则 $a$ 的值为．

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30. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为.

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