陕西省咸阳市武功县2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（）

A、该市参加升学考试的全体学生是总体 B、1000名学生的数学成绩是样本 C、1000名学生是样本容量 D、1000名学生中的每一名学生是个体

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2. 已知角 $θ$ 为第四象限角，则点 $P (s i n θ ， t a n θ)$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 如图是根据x，y的观测数据 $(x_{i} ， y_{i})$ $(i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ 得到的散点图，可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是（）

A、①② B、③④ C、②③ D、①④

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4. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若 $s i n α = s i n β$ ，则 $α$ 与 $β$ 的终边相同；④若 $c o s θ < 0$ ， $θ$ 是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 下列事件中，随机事件的个数是（）
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④ $x \in R$ ，则 $| x |$ 的值不小于0．

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “正面向上”，则下列说法正确的是（）

A、抛掷硬币10次，事件A必发生5次 B、抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次 C、抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5 D、随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小

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7. 某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高一年级学生人数为（）

A、18 B、20 C、22 D、30

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8. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学来讲解本题的解答思路，则下列各组事件中，互斥且对立的事件是（）

A、“恰有1名男生”与“恰有2名男生” B、“至少有1名男生”与“全是男生” C、“至少有1名男生”与“全是女生” D、“至少有一名男生”与“至少有一名女生”

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9. 有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹.”芍药不仅观赏性强，且具有药用价值.某地打造了以芍药为主的花海大世界.其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部分都是以正方形的顶点为圆心､正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的（如图所示）.白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍.倘若你置身此正方形花海之中，则恰好处在红芍中的概率是（）

A、 $1 - \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$ C、 $\frac{π}{2} - 1$ D、 $\frac{π}{4}$

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10. 某区创建全国文明城市指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评，工作人员在本区选取了甲，乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下面的茎叶图是两个街道的测评分数（满分100分），下列说法正确的是（）

A、甲，乙两个街道的测评分数的极差相等 B、甲，乙两个街道的测评分数的平均数相等 C、街道乙的测评分数的众数为87 D、甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数比较大

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11. 如图是一程序框图，则输出结果为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{5}{11}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{6}{13}$

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12. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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二、填空题

13. 国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”，某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第12行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第4个号码为.（注：如下为随机数表的第12行和第13行）
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58

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14. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $\frac{s i n (\frac{π}{2} - α) + 2 c o s (\frac{π}{2} + α)}{s i n (π + α) - c o s (π - α)}$ 的值为.

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15. 空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于100，空气质量为“污染”.如图是某市2021年空气质量指数（AQI）的月折线图.下列关于该市2021年空气质量的叙述中，不正确的是.（填序号）
①全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良；
②每月都至少有一天空气质量为优；
③2月，8月，9月和12月均出现污染天气；
④空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份.

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16. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深 $C D = \sqrt{2} - 1$ ，锯道 $A B = 2$ ，则图中 $\overset{⌢}{A C B}$ 的长度为.

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三、解答题

17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 $x$ （吨），一位居民的月用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0 ， 0.5)$ ， $[0.5 ， 1)$ ， …， $[4 ， 4.5)$ 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求直方图中 $a$ 的值；

(2)、设该市有30万居民，试估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.

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18. 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.

(1)、打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

(2)、打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

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19. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36

(1)、画出数据的茎叶图；

(2)、分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）的平均数和方差，并判断选谁参加比赛比较合适？

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20. 第130届中国进出口商品交易会(广交会)于2021年10月15日至11月3日举办.其中10月15日～18日的第二期展示中，有两家礼品参展商为了交流感情，进行了如下游戏，在甲参展商的箱子和乙参展商的箱子中分别装有标号为1，2，3的3个形状材质均相同的小礼品盒，现从甲、乙参展商的两个箱子中各取出1个小礼品盒，每个小礼品盒被取出的可能性相等.

(1)、求取出的两个小礼品盒标号相同的概率；

(2)、若将乙参展商箱子中的小礼品盒全部倒入甲参展商的箱子中，然后从甲参展商的箱子中不放回的随机取出两个小礼品盒，求取出的两个小礼品盒标号相同的概率.

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21. 已知函数 $y = \frac{1}{2} s i n x + \frac{1}{2} | s i n x |$

(1)、作出函数的简图；

(2)、该函数是不是周期函数？如果是，求出它的最小正周期；

(3)、写出这个函数的单调递增区间.

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22. 中央办公厅和国务院办公厅联合印发《关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适度规模经营的意见》，要求大力发展土地流转和适度规模经营.某种粮大户2017年开始承包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机随着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
养护费用 $y$ （万元）
1.1
1.6
2
2.5
2.8
参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、若该水稻收割机的购买价格是每台16万元，由（1）中的回归方程，从每台水稻收割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满5年就淘汰，还是继续使用到满8年再淘汰？

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年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
养护费用 $y$ （万元）	1.1	1.6	2	2.5	2.8

甲	27	38	30	37	35	31
乙	33	29	38	34	28	36