陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. $s i n \frac{2021 π}{3} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 已知 $c o s α = \frac{\sqrt{7}}{3}$ ，且 $α$ 为第四象限角，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$

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3. 如图，时钟显示的时刻为12：55，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的锐角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{23 π}{72}$ C、 $\frac{11 π}{36}$ D、 $\frac{3 π}{10}$

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4. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $\frac{1}{3 s i n^{2} α - 2 c o s^{2} α} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 若 $c o s α t a n α < 0$ ，且 $s i n α c o s α < 0$ ，则 $α$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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6. 在空间直角坐标系中，若点 $A (- 1 ， 6 ， 8)$ ， $B (1 ， 5 ， 7)$ ，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、6 D、 $\sqrt{6}$

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7. $2 s i n 140 ° + c o s 70 ° =$ （）

A、 $\sqrt{3} s i n 110 °$ B、 $\sqrt{3} s i n 110 ° + 2 s i n 20 °$ C、 $\sqrt{3} c o s 110 °$ D、 $\sqrt{3} c o s 110 ° + 2 s i n 20 °$

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8. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事.2月5日，在北京冬奥会短道跑道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌，这也是中国代表团在本届冬奥会上赢得的首枚金牌．短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为 $8.5 m$ ，直道长为 $28.85 m$ ．若跑道内圈的周长等于半径为 $27.78 m$ 的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取 $17 π = 53.42$ ）（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 π}{3}$

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9. 已知 $α$ 为锐角， $c o s (α + \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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10. 在△ABC中，边AB的中点为D，若O为△ABC的重心，则 $\vec{O D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{6} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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11. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则 $f (\frac{7 π}{18}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 5 ， 5]$ 上的偶函数，当 $- 5 ≤ x ≤ 0$ 时， $f (x)$ 的图象如图所示，则不等式 $\frac{f (x)}{s i n x} < 0$ 的解集为（）

A、 $(- π ， - 2) ∪ (0 ， 2) ∪ (π ， 5]$ B、 $(- π ， - 2) ∪ (π ， 5]$ C、 $[- 5 ， - 2) ∪ (0 ， π) ∪ (π ， 5]$ D、 $[- 5 ， - 2) ∪ (π ， 5]$

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二、填空题

13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{14})$ ，则 $c o s α =$ ．

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14. $s i n 67 ° c o s 7 ° + c o s 113 ° s i n 7 ° =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ 在 $(0 ， m)$ 上的值域为 $(\frac{1}{2} ， 1]$ ，则m的取值范围是．

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16. 已知 $c o s α c o s β = \frac{1}{4}$ ， $s i n α s i n β = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s 2 α + c o s 2 β =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $t a n (α + π) = - 4 \sqrt{3} s i n \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n (α + 2022 π) - 2 s i n (α + \frac{π}{2})}{3 c o s (α - \frac{π}{2}) - c o s (α - π)}$ 的值．

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18. 高一某班小赵同学在解答“利用五点法画出函数

y = 2 s i n x - 1

在一个周期上的简图，并根据图象讨论它的性质”题目时，有如下解答过程，请补全解答过程．

解：第一步：列表．

x	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$y = s i n x$	0
$y = 2 s i n x - 1$

第二步：画出 $y = 2 s i n x - 1$ 在一个周期上的简图．

第三步：讨论 $y = 2 s i n x - 1$ 的性质．

函数	$y = 2 s i n x - 1$
定义域	R
最小正周期	______
单调性	单调递增区间为______；单调递减区间为______
最大值与最小值	当 $x =$ ______时，最大值为1；当 $x =$ 时，最小值为______

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19.

(1)、若 $s i n α + c o s α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $t a n (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若 $c o s (\frac{π}{6} - α) = \frac{2}{5}$ ，求 $s i n (2 α + \frac{π}{6})$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．

(1)、求A＋ω＋φ的值；

(2)、将f(x)的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到函数g(x)的图像，求g(x)图像的对称中心．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n (2 x + \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3} s i n x c o s - 2 c o s^{2} x + 1$ ．

(1)、求 $f (x) \leq 2 \sqrt{3}$ 的解集；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象与 $y$ 轴的交点为 $(0 ， \sqrt{3})$ ．

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减，且对任意 $a \in [\frac{π}{8} ， \frac{π}{6}]$ ， $f (a - \frac{π}{3 ω}) \geq \sqrt{2}$ 恒成立，求 $ω$ 的取值范围．

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