陕西省汉中市2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $2 x - y - 1 = 0$ 在y轴上的截距为（）

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 下列各角中，与 $- 600 °$ 终边相同的角为（）

A、-120° B、160° C、-240° D、360°

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3. 已知 $a = c o s 1$ ， $b = s i n 1$ ， $c = t a n 1$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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4. 已知 $x \in R$ 且 $x \neq k π + \frac{π}{2} (k \in Z)$ ，则下列等式恒成立的是（）

A、 $s i n (- x) = - s i n x$ B、 $s i n (π + x) = s i n x$ C、 $t a n (- x) = t a n x$ D、 $c o s (π + x) = c o s x$

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5. 直线 $l_{1}$ ： $x - 2 y - 3 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $- 3 x + 6 y - 1 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{15}$ D、 $\sqrt{5}$

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6. 已知直线 $l_{1}$ ： $(a - 1) x + y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $x + (a - 1) y + 1 = 0$ 互相垂直，则实数 $a$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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7. 已知 $⊙ C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ ， $⊙ C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ ，那么它们的位置关系是（）

A、外离 B、相切 C、相交 D、内含

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8. 下列关于函数 $f (x) = 2 s i n (4 x + \frac{π}{6})$ 的图象，说法正确的是（）

A、关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、关于直线 $x = - \frac{π}{24}$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称

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9. 下列四个函数，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $（ \frac{π}{2} ， π ）$ 上单调递减的是（）

A、 $y = | s i n x |$ B、 $y = c o s x$ C、 $y = t a n x$ D、 $y = c o s 2 x$

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10. 已知函数 $f (x) = t a n (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为R B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为4 C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \frac{5}{3} + 2 k π ， \frac{1}{3} + 2 k π)$ ， $k \in Z$ D、函数 $f (x)$ 图像的对称中心为 $(k - \frac{2}{3} ， 0)$ ， $k \in Z$

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11. 为了得到函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，可以将函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位

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12. 已知函数 $f (x) = A c o s (2 x + φ) + b$ ( $A > 0$ ， $0 < φ < π$ )的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 3$ B、点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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二、填空题

13. 在空间直角坐标系中，点 $A (0 ， 1 ， 1)$ 和点 $B (- 1 ， 0 ， 1)$ 间的距离是．

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14. 已知直线 $l$ 过点 $G (1 ， - 3)$ ， $H (- 2 ， 1)$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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15. 若直线 $y = \sqrt{2} x$ 与圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 2 (a > 0)$ 相切，则 $a =$ ．

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16. 屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，则该扇环形屏风的面积为 $m^{2}$ ．

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三、解答题

17. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (3 a ， 4 a) (a > 0)$ ．

(1)、求 $s i n θ$ 的值；

(2)、求 $s i n (\frac{3 π}{2} - θ) + c o s (θ - π)$ 的值．

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18. 已知直线 $l_{1}$ ： $m x + y + 2 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $3 x + (m - 2) y + 8 = 0$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标；

(2)、若 $l_{1} // l_{2}$ ，求实数 $m$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (2 x - \frac{π}{4})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求不等式 $f (x) > 1$ 的解集．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 相邻两个零点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标保持不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调递增区间．

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21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为 $y = A s i n (ω t + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ．

(1)、求A，m，φ，b的值；

(2)、盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？

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22. 已知圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，圆心在直线 $y = 3 x$ 上，且到直线 $y = 2 x$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 的圆心在第一象限，过点 $(1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 3 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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