陕西省安康市2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-05-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x (x - 4) < 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${x | 0 < x < 4}$ C、 ${x | x < 4}$ D、 ${x | 0 \leq x < 4}$

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2. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + 2$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $- x - 2$ B、 $- x + 2$ C、x-2 D、 $x + 2$

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3. $c o s 6 0^{°} c o s 3 0^{°} - s i n 6 0^{°} s i n 3 0^{°} =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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4. 已知 $\vec{A B} = (2 ， 3)$ ， $\vec{A C} = (1 ， t)$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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5. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km，5 km，灯塔A在观察站C的北偏东 $20^{\circ}$ 方向上，灯塔B在观察站C的南偏东 $40^{\circ}$ 方向上，则灯塔A与B的距离为（）

A、6 km B、 $4 \sqrt{3} km$ C、7 km D、 $5 \sqrt{2} km$

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6. 设 $a = 3^{\frac{2}{5}}$ ， $b = {(\frac{2}{5})}^{3}$ ， $c = l o g_{3} \frac{2}{5}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列 B、数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是公差为1的等差数列 C、数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列 D、数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是公比为1的等比数列

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8. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $a = 3$ ， $b = \frac{7}{2}$ ， $s i n A = \frac{3}{7}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{4 π}{3})$ 单调递增，在 $(\frac{4 π}{3} ， 2 π)$ 单调递减，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $b s i n 2 A + \sqrt{2} a s i n B = 0$ ， $b = \sqrt{2} c$ ，则 $\frac{s i n A}{s i n C}$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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11. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a b \geq \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 3$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$

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12. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被4除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（）

A、168 B、169 C、170 D、171

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 不共线，设向量 $\vec{a} = k \vec{c} + \vec{d}$ ， $\vec{b} = \vec{c} - k^{2} \vec{d}$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $k$ 的值为.

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14. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 3 S_{2}$ ，则 $\frac{a_{2}}{a_{2} + a_{4}} =$ .

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15. 函数 $y = s i n x + \sqrt{3} c o s x$ 的图象可由函数 $y = s i n x - \sqrt{3} c o s x$ 的图象至少向左平移个单位长度得到．

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16. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其面积 $S = \frac{1}{4} a b c$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 成等差数列，则 $2 a + c$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} = \frac{1}{16}$ ，公比 $q = 2$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值

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18. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边， $a = b c o s C + c s i n B$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{5}$ ， $c = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + n$ （其中 $n \geq 2$ 且 $n \in N *$ ）.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s^{2} x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $f (A) = \frac{1}{2}$ ， $2 a = b + c$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9$ ，求 $a$ 的值.

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21. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $s i n B + 2 s i n C c o s A = 0$ .

(1)、证明： $a^{2} - c^{2} = 2 b^{2}$ ；

(2)、请问角 $B$ 是否存在最大值？若存在，求出角 $B$ 的最大值；若不存在，说明理由.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 n$

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值；

(2)、证明 ${a_{n} + 2}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设 $b_{n} = (2 n + 1) a_{n} + 4 n + 2$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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