山西省吕梁市2022年九年级中考模拟数学试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $- 3 - 5$ 的结果是（）

A、－2 B、－8 C、2 D、8

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2. 2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，将中国传统文化和奥林匹克元素巧妙结合．下面是历届奥运会会徽中的部分图形，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $4 a^{2} + 2 a^{2} = 6 a^{4}$ B、 ${(- 2 m n^{2})}^{3} = - 8 m^{3} n^{6}$ C、 $(6 m^{2} n + 3 m) \div 3 m = 2 m n$ D、 ${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 1$

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4. 在北京冬奥会的赛场上，石墨烯“温暖亮相”，向全世界展示中国自主研发的新型加热材料，也让身处冰雪赛场的人们多了一重温度保障、不畏严寒．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034米用科学记数法表示为（）

A、 $3.4 \times 10^{10}$ 米 B、 $3.4 \times 10^{- 9}$ 米 C、 $0.34 \times 10^{- 9}$ 米 D、 $3.4 \times 10^{- 10}$ 米

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5. AQI是空气质量指数的简称，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大．下表是2022年3月1日山西省7个城市的空气质量指数，这组数据的中位数是（）

大同市	忻州市	太原市	运城市	晋中市	临汾市	长治市
26	27	50	55	47	28	32

A、28 B、32 C、55 D、47

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6. 用配方法将二次函数 $y = x^{2} - 4 x - 6$ 化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式为（）

A、 $y = {(x - 2)}^{2} - 2$ B、 $y = {(x - 2)}^{2} - 10$ C、 $y = {(x + 2)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x + 2)}^{2} - 10$

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B E$ 与 $⊙ O$ 相切于点B，连接 $A C$ ， $∠ D = 120 °$ ， $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ C B E$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $70 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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8. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒 $A D$ ， $B C$ 的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径 $A B$ 的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（）

A、边角边 B、三角形中位线定理 C、边边边 D、全等三角形的对应角相等

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线 $M N$ 交 $A D$ 于点E；③连接 $A C$ ， $C E$ ．若 $D E = 3$ ， $C D = 3 \sqrt{3}$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $35 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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10. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 1$ ，把 $△ A B C$ 绕点B按顺时针方向旋转 $90 °$ 后得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，则线段 $A C$ 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{8} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2} =$ ．

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 8 < 0 \\ 3 - x > - 2 \end{array}$ 的解集是．

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13. 下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，第一个图案需6根火柴，第二个图案需11根火柴，…，依此规律，第n个图案中有根火柴棒（用含有n的代数式表示）．

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14. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在x轴正半轴上， $B C = 5$ ， $\sin ∠ C B A = \frac{4}{5}$ ，一次函数 $y = x - 4$ 的图象经过点A、C，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点D，则 $k =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ，点D是 $B C$ 边上一点，且 $B D = 3 C D$ ，连接 $A D$ ，并取 $A D$ 的中点E，连接 $B E$ 并延长，交 $A C$ 于点F，则 $E F$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 3} \div 4 + {(- 2)}^{0} - \sqrt{18} \cos 45 °$ ．

(2)、下面是小夏同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
$(\frac{3 x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$

$= \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x} - \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$ …第一步

$= \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x} - \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x}$ …第二步

$= 3 (x + 2) - (x - 2)$ …第三步

$= 3 x + 6 - x - 2$ …第四步

$= 2 x + 4$ …第五步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第一步是依据（填运算律）进行变形的；

②第三步是进行分式的约分，约分的依据是；

③第步开始出现错误，这一步错误的原因．

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．

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17. 太原方特东方神话以中华历史文化传承为主题，融合神话传说、历史典故民俗风情和太原特色文化，展现科技与文化的交融碰撞，吸引了许多游客前来游玩．园区纪念品商店内熊大熊二毛绒玩偶套装的进价为48元/套，当以98元/套销售时，平均每天可售出160套；商家计划降价促销，经调查发现：单价每降低5元，每天可多售出50套．如果每天盈利10800元，为了尽可能让利于顾客，单价应定为多少元？

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18. 雄忻高铁于2022年2月1日开工建设，东起河北雄安新区，终点站为山西忻州，是未来山西进京最便捷的客运大通道．雄忻高铁通车后，从忻州到雄安新区有两条路线可供选择，路线一：走高速公路，全长大约357千米；路线二：走雄忻高铁，全长大约340千米，高铁的行驶速度是路线一的4倍，行驶时间比路线一少3.2小时，求雄忻高铁通车后列车的行驶速度．

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19. 每年的3月5日是学雷锋纪念日，太原市某中学于今年3月开展“凝聚少年力量，燃亮志愿微光”学雷锋活动月活动，倡议同学们学习雷锋多做好事，比如：防疫宣传，敬老助老，卫生清扫，公益捐助，图书管理，垃圾分类……教务处在该校七年级学生中随机抽取若干名学生，对其在活动月内做好事的次数进行了调查，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．

(1)、本次接受调查的总人数为人，扇形统计图中做好事3次所对应的扇形圆心角的度数是；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、若该校七年级学生共有800人，请估计其中做好事4次以上的有多少人？

(4)、该校组织学生去公共文化场所做志愿服务活动，报名的志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去中国煤炭博物馆，山西博物院，山西科技馆，太原美术馆中的一个场馆，现把分别代表四个场馆的印有A、B、C、D四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好，志愿者从中随机抽取一张，抽到的卡片即为志愿服务地点．请你用列表或画树状图的方法求小明、小华两名志愿者抽到同一场所的概率．

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20. 阅读与思考

请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．

阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，点P在 $⊙ O$ 上， $P C ⊥ A B$ 于点C，点D在弦 $A B$ 上且 $A C = C D$ ，在 $\overset{⌢}{P B}$ 上取一点Q，使 $\overset{⌢}{P Q} = \overset{⌢}{P A}$ ，连接 $B Q$ ，则 $B Q = B D$ ．小明思考后，给出如下证明：

如图2，连接 $A P$ 、 $P D$ 、 $P Q$ 、 $B P$ ．

∵ $A C = C D$ ， $P C ⊥ A B$

∴ $P A = P D$ （依据1）

∴ $∠ P A D = ∠ P D A$

∵ $\overset{⌢}{P Q} = \overset{⌢}{P A}$

∴ $∠ Q B P = ∠ A B P$ （依据2）

…

图1 图2

任务：

(1)、写出小明证明过程中的依据：

依据1：

依据2：

(2)、请你将小明的证明过程补充完整；

(3)、小亮想到了不同的证明方法：如图3，连接

A P

、

P D

、

P Q

、

D Q

．请你按照小亮的证明思路，写出证明过程；

(4)、结论应用：如图4，将材料中的“弦

A B

”改为“直径

A B

”，作直线l与

⊙ O

相切于点Q，过点B作

B M ⊥ l

于点M，其余条件不变，若

A B = 4

，且D是

O A

的中点，则

Q M =

．

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21. 图1为太阳能路灯，其顶端是太阳能电池板，白天吸收太阳光向灯杆中的蓄电池组充电，晚上蓄电池组提供电力给LED灯光源供电，实现照明功能．图2是该路灯上部的平面示意图，灯臂 $A D$ ，支架 $B C$ 与立柱分别交于A，B两点，灯臂 $A D$ 与支架 $B C$ 交于点C．已知 $∠ M A C = 75 °$ ， $∠ A C B = 15 °$ ， $B C = 60 cm$ ， $C D = 80 cm$ ，点B到地面的距离为 $5.14 m$ ，求路灯最高点D到地面的距离．（结果精确到 $0.01 m$ ．参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ， $\sin 75 ° \approx 0.97$ ， $\cos 75 ° \approx 0.26$ ， $\tan 75 ° \approx 3.73$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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22. 综合与实践
问题情形：如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，点F，G分别在边 $B C$ ， $C D$ 上， $C F = 1$ ， $C G = 2$ ，点E为矩形 $A B C D$ 的对称中心，连接 $E F$ ， $E G$ ．易知四边形 $E F C G$ 为矩形．矩形 $A B C D$ 保持不动，矩形 $E F C G$ 绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0 ° \leq α < 360 °)$ ．

实践探究：

(1)、如图2，当点E恰好在 $C D$ 上，延长 $C F$ ，交 $A B$ 于点H，则 $F H =$ ；

(2)、如图3，当 $G E$ 的延长线恰好经过点A时， $A E$ ， $E F$ 分别与 $C D$ 交于点M，N．则：
① $D M =$ ；② $\frac{M N}{A M} =$ ；

(3)、如图4，若点D在 $G E$ 的延长线上，连接 $B F$ ， $B G$ ．
①此时 $α =$ ▲ ；

②探究 $B F$ 与 $D G$ 之间的数量关系，并加以证明；

③此时点B，F，E是否在同一条直线上？请说明理由；

④求证： $B G$ 平分 $∠ E B C$ ．

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23. 综合与探究
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，点P是抛物线上一个动点，设点P的横坐标为 $m (0 < m < 6)$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ， $P B$ ， $P D$ ．

(1)、分别求出抛物线与直线 $B D$ 的函数表达式；

(2)、当 $S_{△ B D P} = \frac{1}{2} S_{△ A O C}$ 时，求m的值；

(3)、若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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