山东省淄博市博山区2022年九年级数学一模试题

试卷更新日期：2022-05-23 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 冬季奥林匹克运动会（简称冬奥会）是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年2月4日在北京开幕、下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中不是轴对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 为抗击新冠肺炎，国家大力提高口罩产能，据统计，我国一月份口罩产量达到42亿只，42亿用科学记数法表示为（）

A、 $4.2 \times 10^{8}$ B、 $42 \times 10^{8}$ C、 $4.2 \times 10^{9}$ D、 $4.2 \times 10^{10}$

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3. 下列语句正确的是（）．

A、延长射线AB B、线段MN叫做点M ， N间的距离 C、两点之间，直线最短 D、直线a ， b相交于点P

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $| 3.14 - π | = π - 3.14$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 2 a - 1$

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5. 如图，直线 $a / / b$ ，点 $M ， N$ 分别在直线 $a ， b$ 上，P为两平行线间一点，那么 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$ 等于（）

A、 $360 °$ B、 $300 °$ C、 $270 °$ D、 $180 °$

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6. 若 $x = 2$ 是关于x的一元一次方程 $a x - b = 3$ 的解，则 $4 a - 2 b + 1$ 的值是（）

A、7 B、8 C、 $- 7$ D、 $- 8$

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7. 如图， $Δ A B D$ ， $Δ A E C$ 都是等边三角形，则作 $∠ B O C$ 的度数是（）

A、 $135 °$ B、 $125 °$ C、 $120 °$ D、 $110 °$

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8. 已知点 $A (- 3 ， 2 m - 4)$ 在x轴上，点 $B (n + 5 ， 4)$ 在y轴上，则点 $C (n ， m)$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为5的 $⊙ E$ 与y轴交于点 $A (0 ， - 2)$ ， $B (0 ， 4)$ ，与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）

A、 $(4 - 2 \sqrt{6} ， 0)$ B、 $(- 4 + 2 \sqrt{6} ， 0)$ C、 $(- 4 + \sqrt{26} ， 0)$ D、 $(4 - \sqrt{26} ， 0)$

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 c m$ ，动点 $P$ ， $Q$ 同时从点 $A$ 出发，在正方形的边上，分别按 $A \to D \to C$ ， $A \to B \to C$ 的方向，都以 $1 c m / s$ 的速度运动，到达点 $C$ 运动终止，连接 $P Q$ ，设运动时间为 $x s$ ， $Δ A P Q$ 的面积为 $y c m^{2}$ ，则下列图象中能大致表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段 $A - B - C$ 横穿双向车道，其中， $A B = 2 B C = 10$ 米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过 $A C$ ，其中通过 $B C$ 的速度是通过 $A B$ 的1.3倍，求小刚通过 $A B$ 的速度．设小刚通过 $A B$ 的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（）

A、 $\frac{20}{x} + \frac{5}{1.3 x} = 10$ B、 $\frac{10}{x} + \frac{20}{1.3 x} = 10$ C、 $\frac{10}{x} + \frac{5}{1.3 x} = 10$ D、 $\frac{5}{x} + \frac{10}{1.3 x} = 10$

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12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{3}{4} x - 3$ 分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形 $O A C D$ 的边 $O D$ 、 $A C$ 上的动点，且 $D E = A F$ ，过原点O作 $O H ⊥ E F$ ，垂足为H，连接 $H A$ 、 $H B$ ，则 $△ H A B$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{100 + 5 \sqrt{2}}{2}$ B、12 C、 $6 + 3 \sqrt{2}$ D、 $\frac{13 + 5 \sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （其中a，b，c为常数且 $a \neq 0$ ）的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ．（用a，b，c表示）

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14. 分解因式： $x^{2} - 8 x - 9 =$ ．

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15. 从小到大排列的一组数 $2 ， 4 ， x ， 10$ ，如果这组数据的平均数与中位数相等，则 $x$ 的值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B = 60 ° ， A B = 12$ ，若以点A为圆心， $A C$ 半径的弧交 $A B$ 于点E ，以B为圆心， $B C$ 为半径的弧交 $A B$ 于点D ，则图中阴影部分图形的面积为．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 $O A A_{1}$ 的直角边 $O A$ 在x轴上，点 $A_{1}$ 在第一象限，且 $O A = 1$ ，以点 $A_{1}$ 为直角顶点， $O A_{1}$ 为一直角边作等腰直角三角形 $O A_{1} A_{2}$ ，再以点 $A_{2}$ 为直角顶点， $O A_{2}$ 为直角边作等腰直角三角形 $O A_{2} A_{3}$ ……依此规律，则点 $A_{2022}$ 的坐标是．

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三、解答题

18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 12 \geq 2 ， \\ \frac{2 x - 1}{3} < 1 ， \end{array}$ 并把解表示在数轴上．

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19. 已知如图，四边形ABCD是平行四边形．

(1)、尺规作图：作∠ABC的角平分线交CD的延长线于E ，交AD于F（不写作法和证明，但要保留作图痕迹）．

(2)、请在（1）的情况下，求证：DE＝DF ．

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20. 2022北京冬残奥会是历史上第13届冬残奥会，于2022年3月4日至3月13日举行．比赛共设6个大项，即残奥高山滑雪、残奥冬季两项、残奥越野滑雪、残奥单板滑雪、残奥冰球、轮椅冰壶．小明为了解同学们是否知晓这6大项目，随机对学校的部分同学进行了一次问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个类别，根据调查结果，绘制出如图所示的条形统计图和扇形统计图．

请根据图表中的信息回答下列问题：

(1)、求本次调查的样本容量．

(2)、求图中a的值．

(3)、求图“基本了解”类别所对应的圆心角大小．

(4)、若某同学对项目了解类别为“非常了解”或者“比较了解”的话，则可称为“奥知达人”，现从该校随机抽查1名学生，求该学生是“奥知达人”的概率．

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21. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 $A B$ 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶 $A$ 的仰角为 $35 °$ ，此时地面上C点、屋檐上 $E$ 点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走 $8 m$ 到达点D时，又测得屋檐 $E$ 点的仰角为 $60 °$ ，房屋的顶层横梁 $E F = 12 m$ ， $E F / / C B$ ， $A B$ 交 $E F$ 于点G（点C，D， $B$ 在同一水平线上）.（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\tan 35 ° \approx 0.7$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

(1)、求屋顶到横梁的距离 $A G$ ；

(2)、求房屋的高 $A B$ （结果精确到 $1 m$ ）.

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22. 如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4．

(1)、点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；

(2)、若反比例函数的图象与DE交于点Q ，求点Q的横坐标．

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23. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点P是 $A B$ 边上一动点，作 $P D ⊥ B C$ 于点D，连接 $A D$ ，把 $A D$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $A E$ ，连接 $C E$ ， $D E$ ， $P E$ ．

(1)、求证：四边形 $P D C E$ 是矩形；

(2)、如图2所示，当点P运动 $B A$ 的延长线上时， $D E$ 与 $A C$ 交于点F，其他条件不变，已知 $B D = 2 C D$ ，求 $\frac{A P}{A F}$ 的值；

(3)、点P在 $A B$ 边上运动的过程中，线段 $A D$ 上存在一点Q，使 $Q A + Q B + Q C$ 的值最小，当 $Q A + Q B + Q C$ 的值取得最小值时，若 $A Q$ 的长为2，求 $P D$ 的长．

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24. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，直线 $B C$ 的解析式为 $y = \frac{1}{2} x - 4$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，过点A作 $A D ∥ B C$ 交抛物线于点D（异于点A），P是直线 $B C$ 下方抛物线上一点，过点P作 $P Q ∥ y$ 轴，交 $A D$ 于点Q，过点Q作 $Q R ⊥ B C$ 于点R，连接 $P R$ ．求 $Δ P Q R$ 面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，点C关于 $x$ 轴的对称点为点 $C^{'}$ ，将抛物线沿射线 $C A$ 的方向平移 $2 \sqrt{5}$ 个单位长度得到新的抛物线 $y^{'}$ ，新抛物线 $y^{'}$ 与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

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