山东省泰安新泰市2022年（五四制）中考一模数学试题

试卷更新日期：2022-05-23 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2022}$ 的倒数是（）

A、 $\frac{1}{2022}$ B、 $- \frac{1}{2022}$ C、2022 D、 $- 2022$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a - a = 2$ B、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 1$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$

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3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为（）

A、50° B、60° C、70° D、80°

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4. 截至2022年3月31日，全国累计报告接种新冠病毒疫苗327087.4万剂次，接种总人数达127770.9万，已完成全程接种124228.1万人．用科学记数法表示124228.1万为（）

A、 $1.242281 \times 10^{10}$ B、 $1.242281 \times 10^{9}$ C、 $1242281 \times 10^{4}$ D、 $1242281 \times 10^{5}$

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5. 如表是某超市上半年的月营业额 $($ 单位：万元 $)$ ．

月营业额

$20$

$40$

$10$

月数

$3$

$2$

$1$

下列结论错误的是（）

A、平均数是 $25$ B、中位数 $20$ C、众数是 $40$ D、方差是 $125$

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6. 如图是由4个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 关于x的方程 ${(k - 1)}^{2} x^{2} + (2 k + 1) x + 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k \geq \frac{1}{4}$ 且 $k \neq \pm 1$ B、 $k \geq \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 1$ C、 $k > \frac{1}{4}$ D、 $k \geq \frac{1}{4}$

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C，D是 $⊙ O$ 上的点， $∠ C D B = 15 °$ ，过点C作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点E，若 $O E = 2$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y + 2 \\ \frac{x}{2} + 9 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y - 2 \\ \frac{x - 9}{2} = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y + 2 \\ \frac{x - 9}{2} = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y - 2 \\ \frac{x}{2} - 9 = y \end{array}$

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10. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，且 $B C$ 平分 $∠ A B D$ ， $A D$ 分别与 $B C$ ， $O C$ 相交于点 $E$ ， $F$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $O C ∥ B D$ B、 $A D ⊥ O C$ C、 $Δ C E F ≅ Δ B E D$ D、 $A F = F D$

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11. 如图， $O$ 为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一动点， $O E ⊥ O D$ ， $∠ O D E = 45 °$ ， $E$ 在 $A B$ 上结论：① $O D = O E$ ；② $∠ A D E = ∠ A O E$ ；③ $D G^{2} = G O \cdot G C$ ；④若 $A B = 3$ ， $A E = 1$ ，则 $O E = \sqrt{5}$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C在y轴上， $Δ A B C$ 是等边三角形，P是 $A C$ 边上动点，连接 $B P$ ，以 $B P$ 为边在 $B P$ 的右侧作等边三角形 $B P F$ ，连接 $C F$ ． $Δ A B C$ 的面积为 $16 \sqrt{3}$ ， $O B$ 的中点为M，当点P在 $A C$ 边上运动时，线段 $M F$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题

13. 已知x、y满足方程组 ${\begin{matrix} x + 2 y = 8 \\ 2 x + y = 7 \end{matrix}$ ，则x﹣y的值为

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14. 小超在周末利用无人机测量滨湖广场上风帆的高度．如图所示，无人机在距离地面 $10 \sqrt{3}$ 米的P处测得A处的俯角为 $15 °$ ，B处的俯角为 $60 °$ ，若斜面 $A B$ 的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ，则风帆的高 $A F$ 是米．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 的中点，以C为圆心， $C E$ 为半径作弧，交 $C D$ 于点F，连接 $A E$ 、 $A F$ 若 $A B = 4$ ， $∠ B = 60 °$ ，则阴影部分的面积为．

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16. 如图，已知抛物线 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 6$ 与x轴相交于于点A，B，与y轴的交于点C．点 $P (m ， n)$ 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 $Δ P B C$ 的面积为S．下列结论：① $A B = 4$ ；② $O C = 6$ ；③ $S_{最大值} = \frac{27}{4}$ ，其中，正确结论的序号是．（所有正确的序号都填上）

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17. 如图，在 $Rt △ A B C$ 纸片中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，点D，E分别在 $A B$ ， $A C$ 上，连结 $D E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使点A的对应点F落在 $B C$ 的延长线上，若 $F D$ 平分 $∠ E F B$ ，则 $A D$ 的长为．

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18. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，据“杨辉三角”，设 ${(a + b)}^{6}$ 的展开式中第三项的系数为m， ${(a + b)}^{11}$ 的展开式中第三项的系数n，则 $m + n =$ ．
${(a + b)}^{0}$ ………………………….1

${(a + b)}^{1}$ ………………………..1   1

${(a + b)}^{2}$ ……………………1   2   1

${(a + b)}^{3}$ ……………………1   3   3   1

${(a + b)}^{4}$ ……………………1   4   6   4   1

……

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三、解答题

19.

(1)、解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{3 x - 2}{3} \geq 1 \\ 4 x - 2 < 3 x + 2 \end{array}$ ，并写出它的所有整数解；

(2)、先化简，再求值： $(\frac{- 5}{a - 3} - a - 3) \div \frac{{(a - 2)}^{2}}{a^{2} - 3 a} + \frac{a^{2}}{a - 2}$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ ．

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20. 3月5日是学雷锋纪念日，为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，新泰市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

(1)、求该班的人数；

(2)、请把折线统计图补充完整：

(3)、求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；

(4)、该校计划对参加活动最积极的小颖同学奖励两枚“2022·北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率．

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21. 如图，已知一次函数 $y = k x_{1} + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于第一象限内的点 $A (1 ， 6)$ 和 $B (6 ， m)$ ，与x轴交于点C，交y轴于点D．

(1)、分别求出这两个函数的表达式；

(2)、连接 $O A$ 、 $O B$ ，求 $Δ A O B$ 的面积；

(3)、点P为坐标平面内的点，若点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．

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22. 2022年4月8日，CCTV-13新闻频道《朝闻天下》，报道了山东新泰《香椿进入收获期“椿”意盎然助增收》，我市香椿将销往全国各地．某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等．

(1)、求甲、乙两种香椿每件的进价；

(2)、由于畅销，第一批购进的香椿已经售馨，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件．结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了5％，则最多可购买乙种香椿多少件？

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23. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D．

(1)、如图1，点E，F分别在 $A B$ ， $A C$ 上，且 $∠ E D F = 90 °$ ，求证： $A E = C F$ ；

(2)、如图2，点M在 $A D$ 的延长线上，点N在 $A C$ 上，且 $∠ B M N = 90 °$ ，求证： $A C + A N = \sqrt{2} A M$ ．

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24.

(1)、问题背景：如图1， $∠ A C B = ∠ A D E = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D = D E$ ，求证： $Δ A B E ∽ Δ A C D$ ；

(2)、尝试应用：如图2，E为正方形 $A B C D$ 外一点， $∠ B E D = 45 °$ ，过点D作 $D F ⊥ B E$ ，垂足为F，连接 $C F$ ．若 $C F = \sqrt{2}$ ，求 $B E$ 的值；

(3)、拓展创新：如图3，四边形 $A B C D$ 是正方形，点F是线段 $C D$ 上一点，以 $A F$ 为对角线作正方形 $A E F G$ ，连接 $D E$ ， $B G$ ．当 $D F = 1$ ， $S_{四边形 A E D F} = 5$ 时，求 $D E$ 的长．

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25. 如图1，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，顶点为点D．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、点F为第一象限内抛物线上一点，连接 $A F$ 交y轴于点M，设点F的横坐标为t，线段 $C M$ 的长为d，求d与t之间的函数关系式．

(3)、点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线 $y = m x + 1$ 与该抛物线交于点F，点P是直线 $A F$ 上的一个动点，连接 $A E$ 、 $P E$ 、 $P B$ ，记 $Δ P A E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ P A B$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

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月营业额	$20$	$40$	$10$
月数	$3$	$2$	$1$