山西省晋中市2022届高三下学期理数5月模拟试卷

试卷更新日期：2022-05-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $a \in R$ ， $(2 + a i) i = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $a$ 等于（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 12 \leq 0}$ ， $B = {x | \frac{1}{16} < 2^{x} < 4}$ ，则 $A \cup B$ 等于（）

A、 $(- 3 ， 4]$ B、 $[- 3 ， 2)$ C、 $(- 4 ， 4]$ D、 $[- 3 ， 4]$

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3. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{b} |$ 等于（）

A、2 B、1 C、3 D、 $\sqrt{2}$

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4. 如图，已知圆锥的母线长 $S A = 3$ ，一只蚂蚁从 $A$ 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点 $A$ 的最短距离为 $3 \sqrt{3}$ ，则该圆锥的底面半径为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 我国古代数学巨著《九章算术》第三章中的“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是指按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如甲､乙､丙三人分配奖金的衰分比为20%，若甲分得奖金10000元，则乙､丙分得奖金分别为8000元和6400元.现有三名技术人员 $A$ ， $B$ ， $C$ 攻克了一项技术难题.若 $A$ ， $B$ ， $C$ 按照一定的“衰分比”分配奖金共75880元，其中 $A$ 拿到了28000元，则“衰分比”为（）

A、20% B、15% C、25% D、10%

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6. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.某商场决定派小王和小高等7名志愿者将两个吉祥物安装在大广场上，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，若小王和小高必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）

A、40 B、30 C、20 D、80

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7. 若 $\tan θ = - 1$ ，则 $\frac{\cos θ (1 - \sin 2 θ)}{\sin θ - \cos θ}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、-1 D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = a x (a > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ 为 $(0 ， - \sqrt{3})$ ，若射线 $F A$ 与抛物线 $C$ 相交于点 $B$ ，与准线相交于点 $D$ ，且 $| F B | ： | B D | = 1 ： \sqrt{5}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 已知四棱锥 $S - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 B C = 2$ ，平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ S A D$ 为正三角形.则四棱锥 $S - A B C D$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{32 \sqrt{3}}{27} π$ B、 $\frac{16 \sqrt{3}}{27} π$ C、 $\frac{32 \sqrt{3}}{9} π$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{9} π$

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10. 数列 ${a_{n}}$ 是递增的整数数列，若 $a_{1} \geq 2$ ， $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 300$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、25 B、22 C、24 D、23

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，过点 $F_{2}$ 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点 $A$ ，交另一条渐近线于点 $B$ ，且 $\vec{A F_{2}} = - \frac{1}{2} \vec{F_{2} B}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 设 $a$ ， $b$ 为实数，且 $a > 1$ ，函数 $f (x) = a^{x} - b x + e^{2} (x \in R)$ ，若对于任意 $b > 3 e^{2}$ ，函数 $f (x)$ 有两个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， e^{2}]$ B、 $(1 ， e^{2})$ C、 $(1 ， e^{3}]$ D、 $(1 ， e^{3})$

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二、填空题

13. 命题 $p$ ： $\forall x \geq 0$ ， $x^{2} - 2 x + e^{2} \leq 3$ ，则 $¬ p$ 为.

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \leq 4 ， \\ x + y \geq 2 ， \\ y \leq 2 ， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最小值为.

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15. 点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上， $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ ，则 $∠ P B A$ 最大时， $| P B | =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = | \cos \frac{π}{4} (x + 2) | - \sin \frac{π}{4} (x - 2)$ ，给出下列四个命题：① $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；②8为 $f (x)$ 的一个周期；③当 $x \in [2 ， 4]$ 时， $f (x) \in [- 1 ， 1]$ ；④ $f (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 上单调递增.其中真命题有（填序号）.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .在① $\cos^{2} \frac{A - C}{2} - \cos A \cos C = \frac{3}{4}$ ；② ${(\sin A + \sin C)}^{2} = \sin^{2} B + 3 \sin A \sin C$ ；③ $2 b \cos C + c = 2 a$ 这三个条件中任选一个作为已知条件.

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a + c = 2 \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值.

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 为等腰直角三角形， $P A = P B = \frac{1}{2} A C = 1$ ， $P C = \sqrt{3}$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求证： $P A ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $B - P A - C$ 的平面角的正弦值.

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19. 全球新冠肺炎疫情反反复复，国家卫健委专家建议大家出门时佩戴口罩.为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某市质监局从药店随机抽取了500包某种品牌的口罩，测量其一项质量指标值

Z

，如下：

质量指标值 $Z$	$[165 ， 175)$	$[175 ， 185)$	$[185 ， 195)$	$[195 ， 205)$	$[205 ， 215)$	$[215 ， 225)$	$[225 ， 235]$
频数	10	45	110	165	120	40	10

(1)、求这500包口罩质量指标值的样本平均数

\bar{x}

和样本方差

s^{2}

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、口罩的质量指标值

Z

服从正态分布

N (μ ， σ^{2})

，其中

μ

近似为样本平均数

\bar{x}

，

σ^{2}

近似为样本方差

s^{2}

①利用该正态分布，求 $P (200 < Z < 236.6)$ ；

②某人从该药店为本公司员工购买了100包这种品牌的口罩，记 $X$ 表示这100包口罩中质量指标值 $Z$ 位于区间 $(200 ， 236.6)$ 的包数，利用①的结果，求 $E (X)$ .

附： $\sqrt{150} \approx 12.2$ ，若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < Z \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (2 ， 1)$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于M，N两点，且 $| M N | = \sqrt{6}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点P，Q在椭圆 $C$ 上，且 $k_{A P} \cdot k_{A Q} = \frac{1}{3}$ ， $A D ⊥ P Q$ ，D为垂足.证明：存在定点 $S$ ，使得 $| D S |$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} - 2 x + 1}{1 - x} e^{x}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、当 $a = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x = 0$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + t \cos φ ， \\ y = - \sqrt{3} + t \sin φ \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $φ \in [0 ， π)$ ），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos (θ + \frac{π}{3})$ .

(1)、求圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $P (- 2 ， - \sqrt{3})$ ，若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于A， $B$ 两点，求 $| \vec{P A} - \vec{P B} |$ 的最大值.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 3$ .

(1)、若 $\frac{1}{a} + \frac{9}{2 b} \geq | x + 2 |$ 恒成立，求 $x$ 的取值范围；

(2)、证明： $(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) (a^{3} + b^{3}) \geq 9$ .

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